Квадратные уравнения (страница 2)
Найдите корень уравнения \((4x + 5)^2 = (4x + 4)^2\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
После упрощения имеем \(16x^2 + 40x + 25 = 16x^2 + 32x + 16\), что равносильно \(8x = -9\), откуда \(x = -1,125\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \((6,25x + 11)^2 = (6,25x + 9)^2\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
После упрощения имеем \((6,25x)^2 + 137,5x + 121 = (6,25x)^2 + 112,5x + 81\), что равносильно \(25x = -40\), откуда \(x = -1,6\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \((5x + 8)^2 = 160x\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
После упрощения имеем \(25x^2 + 80x + 64 = 160x\), что равносильно \(25x^2 - 80x + 64 = 0\), что равносильно \((5x - 8)^2 = 0\), что равносильно \((5x - 8)(5x - 8) = 0\).
Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл. Отсюда заключаем, что \[x = \dfrac{8}{5} = 1,6\] – единственный корень – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \((2x + 11)^2 = 88x\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
После упрощения имеем \(4x^2 + 44x + 121 = 88x\), что равносильно \(4x^2 - 44x + 121 = 0\), что равносильно \((2x - 11)^2 = 0\), что равносильно \((2x - 11)(2x - 11) = 0\).
Произведение двух выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно 0 и оба выражения не теряют смысл. Отсюда заключаем, что \[x = \dfrac{11}{2} = 5,5\] – единственный корень – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \((x + 8)^2 = x^2 + 8\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
После упрощения имеем \(x^2 + 16x + 64 = x^2 + 8\), что равносильно \(16x = -56\), что равносильно \(x = -3,5\) – подходит по ОДЗ.
Найдите корень уравнения \((2x + 3)^2 = 4x^2 + 9\).
ОДЗ: \(x\) – произвольное. Решим на ОДЗ:
После упрощения имеем \(4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 9\), что равносильно \(12x = 0\), что равносильно \(x = 0\) – подходит по ОДЗ.
Найдите отрицательный корень уравнения \((3-x)(3x+4)=4\).
Данное уравнение является квадратным. Раскроем скобки: \[9x+12-3x^2-4x=4\quad\Leftrightarrow\quad 3x^2-5x-8=0\]
1 способ.
Дискриминант \(D=25+4\cdot 3\cdot 8=121=11^2\), следовательно, корни: \[x_1=\dfrac{5+11}{2\cdot 3}=\dfrac83
\qquad\text{и}\qquad x_2=\dfrac{5-11}{2\cdot 3}=-1.\] Следовательно, отрицательный корень – это \(x=-1\).
2 способ.
Заметим, что сумма коэффициентов, стоящих при четных степенях: \(3+(-8)=-5\), равна сумме коэффициентов, стоящих при нечетных степенях: \(-5\), следовательно, один из корней \(x_1=-1\). Тогда второй по теореме Виета (т.к. их произведение равно \(-\frac83\)) равен \(x_2=\frac83\).
