Рациональные уравнения (страница 2)
Найдите корень уравнения \(\dfrac{7x + 2}{5 - 3x} = -8x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
ОДЗ: \(x \neq \dfrac{5}{3}\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{7x + 2 + 8x\cdot(5 - 3x)}{5 - 3x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(7x + 2 + 8x\cdot(5 - 3x) = 0\), что равносильно \(24x^2 - 47x - 2 = 0\).
Дискриминант данного уравнения \[D = 2209 + 192 = 2401 = 49^2.\] Корни квадратного уравнения \[x_1 = 2, \ x_2 = -\dfrac{1}{24}\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 2\) – наибольший корень.
Найдите корень уравнения \(\dfrac{x + 2}{7 - x} = 0,5x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
ОДЗ: \(x \neq 7\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{x + 2 - 3,5x + 0,5x^2}{7 - x} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(x + 2 - 3,5x + 0,5x^2 = 0\), что равносильно \(x^2 - 5x + 4 = 0\).
Дискриминант данного уравнения \[D = 25 - 16 = 9 = 3^2.\] Корни квадратного уравнения \[x_1 = 4, \ x_2 = 1\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = 4\) – наибольший корень.
Найдите корень уравнения \(\dfrac{7,5 - x}{x - 13} = -0,25x\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите модуль их разности.
ОДЗ: \(x \neq 13\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{7,5 - x + 0,25x^2 - 3,25x}{x - 13} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(7,5 - x + 0,25x^2 - 3,25x = 0\), что равносильно \(x^2 - 17x + 30 = 0\).
Дискриминант данного уравнения \[D = 289 - 120 = 169 = 13^2.\] Корни квадратного уравнения \[x_1 = 15, \ x_2 = 2\] – подходят по ОДЗ. Ответ: \(|15 - 2| = 13\).
Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{x^2 - 65} = -1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: \(x \neq \pm \sqrt{65}\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1 + 1\cdot(x^2 - 65)}{x^2 - 65} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(1 + 1\cdot(x^2 - 65) = 0\), что равносильно \(x^2 = 64\), откуда \(x = \pm 8\) – подходят по ОДЗ. Ответ: \(x = -8\) – меньший корень.
Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{x^2 - 2x + 2} = 1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: \(x^2 - 2x + 2 \neq 0\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1 - 1\cdot(x^2 - 2x + 2)}{x^2 - 2x + 2} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(1 - 1\cdot(x^2 - 2x + 2) = 0\), что равносильно \(x^2 - 2x + 1 = 0\), откуда \(x = 1\) – подходит по ОДЗ. Ответ: \(x = 1\).
Найдите корень уравнения \(\dfrac{1}{x^2 - 5x + 3} = -1\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.
ОДЗ: \(x^2 - 5x + 3 \neq 0\). Решим на ОДЗ:
Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{1 + 1\cdot(x^2 - 5x + 3)}{x^2 - 5x + 3} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(1 + 1\cdot(x^2 - 5x + 3) = 0\), что равносильно \(x^2 - 5x + 4 = 0\), откуда \(x_1 = 1, \ x_2 = 4\) – подходят по ОДЗ. Ответ: больший корень \(x = 4\).
Найдите корень уравнения \(\dfrac{-1}{x^2 - 12x - 25} = -\dfrac{1}{3}\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
ОДЗ: \(x^2 - 12x - 25 \neq 0\). Решим на ОДЗ:
Умножим уравнение на \(-3\), затем перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: \[\dfrac{3 - (x^2 - 12x - 25)}{x^2 - 12x - 25} = 0.\] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда \(3 - (x^2 - 12x - 25) = 0\), что равносильно \(x^2 - 12x - 28 = 0\), откуда \(x_1 = 14, \ x_2 = -2\) – подходят по ОДЗ. Ответ: меньший корень \(x = -2\).
