Исследование функций с помощью производной
Найдите точку максимума функции \(y = -x^2\).
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
1) \[y' = -2x\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Производная существует при любом \(x\).
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Эскиз графика:
Таким образом, \(x = 0\) – точка максимума функции \(y\).
Найдите точку минимума функции \(y = x^2 + 2x + 2\) на отрезке \([-2; 2]\).
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
1) \[y' = 2x + 2\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[2x + 2 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = -1\,.\] Производная существует при любом \(x\).
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-2; 2]\):
4) Эскиз графика на отрезке \([-2; 2]\):
Таким образом, \(x = -1\) – точка минимума функции \(y\) на \([-2; 2]\).
Найдите точку минимума функции \(y = 3x^2 - 6x + \pi\) на отрезке \([-3; 3]\).
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
1) \[y' = 6x - 6\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[6x - 6 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 1\,.\] Производная существует при любом \(x\).
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\) на рассматриваемом отрезке \([-3; 3]\):
4) Эскиз графика на отрезке \([-3; 3]\):
Таким образом, \(x = 1\) – точка минимума функции \(y\) на \([-3; 3]\).
Найдите точку локального минимума функции \(y = x^3 - 3x\).
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
1) \[y' = 3x^2 - 3\]
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[3x^2 - 3 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \pm 1\,.\] Производная существует при любом \(x\).
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Эскиз графика \(y\):
Таким образом, \(x = 1\) – точка локального минимума функции \(y\).
Найдите точку локального максимума функции
\(y = x^3 - 15x^2 + 48x + e\).
1) \(y' = 3x^2 - 30x + 48 = 3(x^2 - 10x + 16)\).
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):
\[3(x^2 - 10x + 16) = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 - 10x + 16 = 0,\] откуда находим \(x_1 = 2, \ x_2 = 8\). Таким образом, \[y' = 3(x - 2)(x - 8).\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Эскиз графика \(y\):
Таким образом, \(x = 2\) – точка локального максимума функции \(y\).
Найдите точку локального максимума функции \(y = \dfrac{1}{3}x^3 - 8x^2 + 55x + 11\).
1) \(y' = x^2 - 16x + 55\).
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):
\(x^2 - 16x + 55 = 0\), откуда находим корни \(x_1 = 5, \ x_2 = 11\). Таким образом, \[y' = (x-5)(x-11).\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Эскиз графика \(y\):
Таким образом, \(x = 5\) – точка локального максимума функции \(y\).
Найдите точку локального минимума функции \(y = \dfrac{1}{3}x^3 - 3x^2 + 8x + 2\).
1) \(y' = x^2 - 6x + 8\).
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):
\(x^2 - 6x + 8 = 0\), откуда находим корни \(x_1 = 2, \ x_2 = 4\). Таким образом, \[y' = (x-2)(x-4).\] Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Эскиз графика \(y\):
Таким образом, \(x = 4\) – точка локального минимума функции \(y\).
