Исследование функций с помощью производной (страница 2)
Найдите точку локального минимума функции \(y = x^{1,25} - 5x + 12\).
ОДЗ: \(x \geq 0\). Решим на ОДЗ:
1) \(y' = 1,25x^{0,25} - 5\).
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):
\[1,25x^{0,25} - 5 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 1,25x^{0,25} = 5.\] Возводя последнее уравнение в 4 степень, находим \(x = 256\). Проверкой убеждаемся, что \(x = 256\) – корень уравнения \(1,25x^{0,25} - 5 = 0\).
Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Эскиз графика \(y\):
Таким образом, \(x = 256\) – точка локального минимума функции \(y\).
Найдите точку минимума функции
\(y = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x - 1\).
1) \(y' = 4x^3 + 12x^2 + 12x + 4 = 4(x^3 + 3x^2 + 3x + 1) = 4(x + 1)^3\).
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует):
\[4(x + 1)^3 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x + 1)^3 = 0,\] откуда находим \(x = -1\). Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y'\):
3) Эскиз графика \(y\):
Таким образом, \(x = -1\) – точка минимума функции \(y\).
