Использование различных формул площадей многоугольников

Так как \(AD\) перпендикулярна \(DC\), то \(\sin{\angle C} = \cos{\angle DAC} = 0,7\).

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними,
тогда площадь треугольника \(ABC\) равна \(0,5\cdot 6 \cdot 9 \cdot 0,7 = 18,9\).

Третья сторона треугольника равна \(250 - 120 - 17 = 113\).
По формуле Герона \(S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)}\), где \(p\) – полупериметр треугольника \(ABC\).

Для данного треугольника

\(S_{\triangle ABC} = \sqrt{125\cdot (125 - 120)\cdot (125 - 17)\cdot (125 - 113)} = \sqrt{125\cdot 5 \cdot 12 \cdot 108} =\)

\(= 25\sqrt{12\cdot 108} = 100\sqrt{3\cdot 27} = 900.\)

Т.к. площадь треугольника равна полупроизведению высоты и стороны, к которой эта высота проведена, то с одной стороны площадь равна \[S=\dfrac12\cdot 6\cdot 4,\]

а с другой \[S=\dfrac12\cdot 8\cdot h,\]

где \(h\) – высота, которую нужно найти. Таким образом, получаем следующее равенство:

\[\dfrac12\cdot 6\cdot 4=\dfrac12\cdot 8\cdot h \quad \Leftrightarrow \quad h=3.\]

Из основного тригонометрического тождества:
\(\sin^2\angle BAC = 1 - \dfrac{15}{16}\), тогда \(\sin\angle BAC = \pm 0,25\). Так как \(\angle BAC \in (0^{\circ}; 180^{\circ})\), то \(\sin\angle BAC = 0,25\).

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними,
тогда площадь треугольника \(ABC\) равна \(0,5\cdot 4 \cdot 6 \cdot 0,25 = 3\).

Т.к. катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, то \(AC=0,5\cdot AB=0,5\cdot \sqrt[4]3\).

Т.к. \(\angle A=90^\circ -\angle B=60^\circ\), то площадь равна \[S=\dfrac12\cdot AC\cdot AB\cdot \sin 60^\circ=\dfrac12\cdot 0,5\cdot \sqrt[4]3\cdot \sqrt[4]3\cdot \dfrac{\sqrt3}2=\dfrac38=0,375.\]

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и точкой пересечения делятся пополам, тогда \(OD = 4\), \(\dfrac{CO}{OD} = \mathrm{tg}\, \angle BDC = 3\), откуда \(CO = 12\), следовательно, \(AC = 24\).

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей, тогда \[S_{ABCD} = 0,5\cdot 8\cdot 24 = 96.\]

Пусть \(a\) – боковая сторона треугольника.
Площадь треугольника равна полупроизведению сторон на синус угла между ними, следовательно, \[\dfrac12\cdot a^2\cdot \sin30^\circ=S=100\quad\Rightarrow\quad a^2=400\quad\Rightarrow\quad a=20\]