Окружность, описанная около многоугольника (страница 5)
Окружность называется описанной около выпуклого многоугольника, если все вершины этого многоугольника лежат на окружности.
\(\blacktriangleright\) Около любого треугольника можно описать окружность. Ее центр лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (рис. 1).
Для вписанного треугольника верна формула \[\dfrac{a}{\sin\alpha}=2R,\] где \(\alpha\) – угол треугольника, лежащий против стороны \(a\).
Площадь вписанного треугольника вычисляется по формуле
\[\Large{S_{\triangle}=\dfrac{abc}{4R}}\]
\(\blacktriangleright\) Если около выпуклого четырехугольника описана окружность, то сумма его противоположных углов равна \(\large{\angle\phi + \angle\gamma=180^\circ}\).
И наоборот: Если сумма двух противоположных углов выпуклого четырехугольника равна \(\large{\angle\phi +
\angle\gamma=180^\circ}\), то около него можно описать окружность. (рис. 2)
\(\blacktriangleright\) Около выпуклого четырехугольника описана окружность \(\Leftrightarrow\) \(\large{\angle \alpha =\angle
\beta}\). (рис. 3)
Площадь вписанного четырехугольника вычисляется по формуле
\[{\large{S_{\text{впис.4-к}}=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)},}}\]
где \(a,b,c,d\) – его стороны, \(p=\frac12(a+b+c+d)\) – полупериметр.
\(\blacktriangleright\) Если около параллелограмма описана окружность, то он – прямоугольник (рис. 4).
\(\blacktriangleright\) Если около ромба описана окружность, то он – квадрат (рис. 5).
\(\blacktriangleright\) Если около трапеции описана окружность, то она равнобедренная.
И наоборот: около равнобедренной (и только равнобедренной) трапеции можно описать окружность (рис. 6).
Около пятиугольника \(ABCDE\) описана окружность, причем \(AB=BC=CD=DE=4\sqrt3\), \(\angle A=90^\circ\). Найдите \(AE\).
Рассмотрим картинку:
Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\), \(\buildrel\smile\over{BC}\), \(\buildrel\smile\over{CD}\), \(\buildrel\smile\over{DE}\) равны:
\[\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{BC}= \buildrel\smile\over{CD}=\buildrel\smile\over{DE}=\alpha.\]
Следовательно, \(\angle A=90^\circ=\frac32\alpha\), откуда \(\alpha=60^\circ\).
Значит, вписанный \(\angle AEB=\frac12\alpha=30^\circ\). Следовательно, из прямоугольного треугольника \(AEB\)
\[\mathrm{tg}\,30^\circ=\dfrac{AB}{AE} \quad \Rightarrow \quad AE=12.\]
Около пятиугольника \(ABCDE\) описана окружность, причем \(AB=BC=CD=DE\), \(AE=6\sqrt3\), \(\angle A=45^\circ\). Найдите радиус описанной около этого пятиугольника окружности.
Рассмотрим картинку:
Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\), \(\buildrel\smile\over{BC}\), \(\buildrel\smile\over{CD}\), \(\buildrel\smile\over{DE}\) равны:
\[\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{BC}= \buildrel\smile\over{CD}=\buildrel\smile\over{DE}=\alpha.\]
Следовательно, \(\angle A=45^\circ=\frac32\alpha\), откуда \(\alpha=30^\circ\).
Значит, вписанный \[\angle ABE=\frac12\buildrel\smile\over{AE}= \frac12\left(360^\circ-4\alpha\right)=120^\circ\]
Тогда, т.к. \(\triangle ABE\) – вписанный, то \(\dfrac{AE}{\sin \angle B}=2R\), где \(R\) – радиус данной окружности. Следовательно:
\[\dfrac{AE}{\sin \angle B}=2R \quad \Rightarrow \quad R=6.\]
Около пятиугольника \(ABCDE\) описана окружность, причем \(AB=BC=CD=DE\), \(AE=8\sqrt3\), \(\angle A=45^\circ\). Найдите высоту треугольника \(ACE\), опущенную из вершины угла \(C\).
Рассмотрим картинку:
Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\), \(\buildrel\smile\over{BC}\), \(\buildrel\smile\over{CD}\), \(\buildrel\smile\over{DE}\) равны:
\[\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{BC}= \buildrel\smile\over{CD}=\buildrel\smile\over{DE}=\alpha.\]
Следовательно, \(\angle A=45^\circ=\frac32\alpha\), откуда \(\alpha=30^\circ\).
Тогда \(\angle CAE=\frac12\cdot 2\alpha=30^\circ\).
Заметим, что \(\triangle ACE\) – равнобедренный (\(\angle A=\angle E=\alpha\)), следовательно, \(CH\) – высота и медиана, то есть \(AH=\frac12\cdot AE=4\sqrt3\). Значит:
\[\mathrm{tg}\,30^\circ=\dfrac{CH}{AH} \quad \Rightarrow \quad CH=4.\]
Около пятиугольника \(ABCDE\) описана окружность, причем \(AB=BC=CD=DE\). Радиус этой окружности равен \(5\). Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \(BQD\), где \(Q\) – точка пересечения отрезков \(AD\) и \(BE\).
Рассмотрим картинку:
1) Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\), \(\buildrel\smile\over{BC}\), \(\buildrel\smile\over{CD}\), \(\buildrel\smile\over{DE}\) равны:
\[\buildrel\smile\over{AB}=\buildrel\smile\over{BC}= \buildrel\smile\over{CD}=\buildrel\smile\over{DE}=\alpha.\]
Пусть также \(\buildrel\smile\over{EA}=\beta\).
2) \(\angle CBE=\frac12(\alpha+\alpha)=\alpha\), \(\angle BCD=\frac12(\alpha+\beta+\alpha)=\alpha+\frac12\beta\). Следовательно, \(\angle CBE+\angle BCD=2\alpha+\frac12\beta\).
Заметим, что градусная мера всей окружности равна \(360^\circ\), следовательно, \(4\alpha+\beta=360^\circ\), откуда \(2\alpha+\frac12\beta=180^\circ\). Таким образом, \(\angle CBE\) и \(\angle BCD\) – односторонние углы при прямых \(CD\) и \(BE\) и секущей \(BC\). Следовательно, \(CD\parallel BE\).
Аналогично доказывается, что \(AD\parallel BC\).
3) Значит, \(BCDQ\) – параллелограмм (\(BQ\parallel CD, BC\parallel QD\)). А в параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, \(BQ=CD=BC=DQ\). То есть \(BCDQ\) – ромб.
4) Таким образом, \(\triangle BCD=\triangle BQD\). Значит, и радиусы описанных около этих треугольников окружностей равны. Но радиус описанной около \(\triangle BCD\) окружности равен радиусу описанной около пятиугольника \(ABCDE\) окружности. Следовательно, ответ \(5\).
Стоугольник \(A_1...A_{100}\) вписан в окружность. Найдите \(\angle A_1 + \angle A_3 + \angle A_5 + ... + \angle A_{99}\). Ответ дайте в градусах.
\(\angle A_1\), \(\angle A_3\), ..., \(\angle A_{99}\) – вписанные, тогда \(\angle A_1 = 0,5\cdot\smile A_2...A_{100}\), ..., \(\angle A_{99} = 0,5\cdot\smile A_{100}A_1...A_{98}\).
Назовём меньшую дугу \(\smile A_1A_2\) малой. Аналогично назовём меньшие дуги \(\smile A_2A_3\), ..., \(\smile A_{100}A_1\) малыми. Каждую из дуг \(\smile A_2...A_{100}\), ..., \(\smile
A_{100}A_1...A_{98}\) можно разложить в сумму малых дуг.
\(\angle A_1 + \angle A_3 + \angle A_5 + ... + \angle A_{99} = 0,5\cdot\)(сумму некоторых малых дуг).
Остаётся понять, сколько раз в данную сумму войдёт каждая малая дуга.
Например, \(\smile A_1A_2\) войдёт \(50 - 1 = 49\) раз (среди \(50\) слагаемых \(\smile A_2...A_{100}\), ..., \(\smile A_{100}A_1...A_{98}\) она не входит только в \(\smile A_2...A_{100}\)).
Аналогично любая дуга войдёт в данную сумму \(49\) раз, следовательно, \[\angle A_1 + \angle A_3 + \angle A_5 + ... + \angle A_{99} = 0,5\cdot 49l,\] где \(l\) – градусная мера окружности.
Так как \(l = 360^\circ\), то \[\angle A_1 + \angle A_3 + \angle A_5 + ... + \angle A_{99} = \left(\dfrac{100}{2} - 1\right)\cdot 180^\circ = 8820^\circ.\]
Во вписанном четырехугольнике \(ABCD\) противоположные стороны попарно равны \(5\) и \(12\). Найдите радиус описанной около этого четырехугольника окружности.
Рассмотрим картинку:
Т.к. хорды \(AB\) и \(CD\) равны, то равны дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\) и \(\buildrel\smile\over{CD}\). Следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, будут тоже равны:
\[\angle ADB=\angle ACB=\angle DAC=\angle DBC\]
Таким образом, \(\angle ADB=\angle DBC\) – накрест лежащие при прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(BD\), следовательно, \(AD\parallel BC\).
Аналогичным образом доказывается, что \(AB\parallel CD\).
Таким образом, \(ABCD\) – параллелограмм. Т.к. он вписанный, то это – прямоугольник.
В прямоугольнике центр описанной окружности лежит на пересечении диагоналей. Следовательно, по теореме Пифагора \(AC=\sqrt{5^2+12^2}=13\), а \(R=\frac12AC=6,5\).
Замечание.
Можно было доказать, что \(ABCD\) – прямоугольник, другим способом:
\(\triangle ABD=\triangle CBD\) по трем сторонам. Следовательно, \(\angle A=\angle C\). Но т.к. четырехугольник вписанный, то сумма противоположных углов равна \(180^\circ\), следовательно, \(\angle A+\angle C=180^\circ\). Отсюда следует, что \(\angle A=\angle C=90^\circ\). Аналогично \(\angle B=\angle D=90^\circ\). По признаку четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.
Радиус описанной около четырехугольника \(ABCD\) окружности равен \(3\). Найдите площадь этого четырехугольника, если известно, что все его стороны равны.
Рассмотрим картинку:
Докажем, что данный четырехугольник является квадратом.
Т.к. хорды \(AB\) и \(CD\) равны, то равны дуги \(\buildrel\smile\over{AB}\) и \(\buildrel\smile\over{CD}\). Следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, будут тоже равны:
\[\angle ADB=\angle ACB=\angle DAC=\angle DBC\]
Таким образом, \(\angle ADB=\angle DBC\) – накрест лежащие при прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(BD\), следовательно, \(AD\parallel BC\).
Аналогичным образом доказывается, что \(AB\parallel CD\).
Таким образом, \(ABCD\) – параллелограмм. Т.к. он вписанный, то это – прямоугольник. Т.к. все его стороны равны, то это квадрат.
В квадрате центр описанной окружности лежит на пересечении диагоналей, следовательно, \(AC=2R=6\). По свойству квадрата \(AD=AC\div \sqrt2=3\sqrt2\). Следовательно, площадь
\[S_{ABCD}=AD^2=(3\sqrt2)^2=18.\]
Замечание.
Можно было доказать, что \(ABCD\) – квадрат, другим способом:
\(\triangle ABD=\triangle CBD\) по трем сторонам. Следовательно, \(\angle A=\angle C\). Но т.к. четырехугольник вписанный, то сумма противоположных углов равна \(180^\circ\), следовательно, \(\angle A+\angle C=180^\circ\). Отсюда следует, что \(\angle A=\angle C=90^\circ\). Аналогично \(\angle B=\angle D=90^\circ\). По признаку четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Но т.к. у него еще и все стороны равны, то это квадрат.
