Окружность: важные теоремы, связанные с углами (страница 4)
\(\blacktriangleright\) Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной;
\(\blacktriangleright\) Угол между касательной и хордой, проходящей через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними; \[\alpha = \dfrac{1}{2}\buildrel\smile\over{AB}\]
\(\blacktriangleright\) Угол между двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен полуразности дуг, заключенных между ними; \[\alpha =
\dfrac{1}{2}\left(\buildrel\smile\over{AB}-\buildrel\smile\over{CD}\right)\]
\(\blacktriangleright\) Угол между двумя хордами равен полусумме дуг, заключенных между ними; \[\alpha =
\dfrac{1}{2}\left(\buildrel\smile\over{AB}+\buildrel\smile\over{CD}\right)\]
\(\blacktriangleright\) Прямая, проходящая через точку вне окружности и центр окружности, является биссектрисой угла, образованного касательными, проведенными из этой точки к окружности;
\(\blacktriangleright\) Если радиус делит хорду пополам, то он ей перпендикулярен;
\(\blacktriangleright\) Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен \(90^\circ\);
\(\blacktriangleright\) Дуги (меньшие полуокружности),отсекаемые равными хордами, равны между собой.
Прямая \(AB\) касается окружности в точке \(A\). На окружности отмечена точка \(C\) так, что \(CB\perp AB\) и \(CB=AB\sqrt3\). Найдите центральный угол, опирающийся на меньшую дугу \(AC\). Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим картинку:
Треугольник \(ABC\) – прямоугольный, причем, т.к. \(CB=\sqrt3 \cdot AB\), то \[\mathrm{tg}\,\angle BAC=\dfrac{CB}{AB}=\sqrt3 \quad \Rightarrow \quad \angle BAC=60^\circ\]
Т.к. угол между касательной \(AB\) и хордой \(AC\) равен половине дуги \(\buildrel\smile\over{AC}\), заключенной между ними, то \(\buildrel\smile\over{AC}=120^\circ\). Тогда центральный угол \(\angle AOC=\buildrel\smile\over{AC}=120^\circ\).
\(AB\) – касательная к окружности, причем \(A\) – точка касания. На окружности на одинаковом расстоянии от точки \(A\) отмечены точки \(C\) и \(D\), причем дуга \(\buildrel\smile\over{CD}\), не проходящая через точку \(A\), равна \(110^\circ\). Найдите угол \(BAD\), если \(\angle BAD<\angle BAC\). Ответ дайте в градусах.
Рассмотрим картинку:
Т.к. дуги, стягиваемые равными хордами, равны, то \(\buildrel\smile\over{AC}=\buildrel\smile\over{AD}=x\). Т.к. вся окружность равна \(360^\circ\), то \(x+x+110^\circ=360^\circ\), откуда \(x=125^\circ\).
Угол \(BAD\), образованный касательной \(AB\) и хордой \(AD\), равен половине дуги, заключенной между ними, то есть \(\angle BAD=0,5 \buildrel\smile\over{AD}=62,5^\circ\).
