Неравенства, решаемые методом рационализации

ОДЗ: \[\begin{cases} x + 1 > 0\\ x + 1\neq 1\\ x - 1 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 1\,.\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} \log_{x + 1} (x - 1)\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x + 1 - 1)\cdot (x - 1 - 1)\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\cdot (x - 2)\geqslant 0\,. \end{aligned}\]

Так как на ОДЗ \(x > 1 > 0\), то на ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству \[x - 2\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x \geqslant 2\] C учётом ОДЗ в итоге: \(x\in[2; +\infty).\)

ОДЗ: \[\begin{cases} x^2 > 0\\ x^2 \neq 1\\ x^2 + 1 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x \neq 0\\ x \neq \pm 1\,. \end{cases}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} \log_{x^2} (x^2 + 1) > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x^2 - 1)\cdot (x^2 + 1 - 1) > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x^2 - 1)\cdot x^2 > 0\,. \end{aligned}\]

Так как на ОДЗ \(x^2 > 0\), то на ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству \[x^2 - 1 > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x \in(-\infty; -1)\cup(1; +\infty)\,.\] C учётом ОДЗ в итоге: \(x\in(-\infty; -1)\cup(1; +\infty).\)

Выпишем ОДЗ неравенства: \[\begin{cases} x^2-1>0\\ x^2-1\ne 1\\ x+2>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in (-2;-\sqrt2)\cup(-\sqrt2;-1)\cup(1;\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty).\] Решим неравенство на ОДЗ. Заметим, что по формуле \(\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac\) неравенство можно переписать в виде: \[(x^2+3x-10)\cdot \log_{0,5}(x+2)\leqslant 0\] По методу рационализации данное неравенство равносильно: \[(x^2+3x-10)\cdot (0,5-1)(x+2-1)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x+5)(x-2)(x+1)\geqslant 0\] Решим полученное неравенство методом интервалов и получим ответ: \[x\in [-5;-1]\cup [2;+\infty)\] Пересечем ответ с ОДЗ и получим окончательный ответ \[x\in (-2;-\sqrt2)\cup(-\sqrt2;-1)\cup[2;+\infty)\]

ОДЗ: \[\begin{cases} x - 2 > 0\\ x - 2\neq 1\\ x + 3 > 0\\ x^2 > 0\\ x^{2} \neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x > 2\\ x\neq 3 \end{cases}\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\log_{(x - 2)} (x + 3) \geqslant \log_{(x - 2)}x^{2}\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{(x - 2)} (x + 3) - \log_{(x - 2)}x^{2}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \log_{(x - 2)} \dfrac{(x + 3)}{x^2}\geqslant 0\,. \end{aligned}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} &\log_{(x - 2)} \dfrac{(x + 3)}{x^2}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x - 2 - 1)\left(\dfrac{x + 3}{x^2} - 1\right)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (x - 3)\cdot\dfrac{x + 3 - x^2}{x^2}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x - 3)\cdot\dfrac{x^2 - x - 3}{x^2}\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов на ОДЗ



Таким образом, с учётом ОДЗ исходное неравенство верно при \[x\in\left[\dfrac{1+\sqrt{13}}{2}; 3\right).\]

ОДЗ: \[\begin{cases} x + 1 > 0\\ x + 1\neq 1\\ x > 0\\ x\neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x > 0\\ x\neq 1 \end{cases}\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\log_{(x + 1)} 2 \geqslant \log_{(x + 1)} x\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{(x + 1)} 2 - \log_{(x + 1)} x\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \log_{(x + 1)} \dfrac{2}{x}\geqslant 0\,. \end{aligned}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} &\log_{(x + 1)} \dfrac{2}{x}\geqslant 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad (x + 1 - 1)\left(\dfrac{2}{x} - 1\right)\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\cdot\dfrac{2 - x}{x}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad 2 - x\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\leqslant 2 \end{aligned}\]

Таким образом, с учётом ОДЗ исходное неравенство верно при \[x\in(0; 1)\cup(1; 2].\]

ОДЗ:

\[\begin{cases} 8 - 4x > 0\\ 8 - 4x \neq 1\\ 16x^2 - 8x + 1 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in \left(-\infty; \dfrac{1}{4}\right) \cup \left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{7}{4}\right) \cup \left(\dfrac{7}{4}; 2\right).\]

\[\log_{8-4x}(16x^2 - 8x + 1) - \log_{8-4x}(8-4x)^2\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{8-4x}\dfrac{16x^2 - 8x + 1}{(8 - 4x)^2}\leqslant 0.\] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &(8 - 4x - 1)\left(\dfrac{16x^2 - 8x + 1}{(8 - 4x)^2} - 1\right)\leqslant 0 \qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad (7 - 4x)\cdot\dfrac{16x^2 - 8x + 1 - (64 - 64x + 16x^2)}{(8 - 4x)^2}\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \dfrac{(7 - 4x)(56x - 63)}{(8 - 4x)^2}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad\dfrac{(4x - 7)(8x - 9)}{(4x - 8)^2}\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x \in\left(-\infty; \dfrac{9}{8}\right]\cup\left[\dfrac{7}{4}; 2\right)\cup(2; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in\left(-\infty; \dfrac{1}{4}\right)\cup\left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{9}{8}\right]\cup\left(\dfrac{7}{4}; 2\right)\).
Окончательный ответ \[x \in\left(-\infty; \dfrac{1}{4}\right)\cup\left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{9}{8}\right]\cup\left(\dfrac{7}{4}; 2\right)\,.\]

Найдем ОДЗ: \[4^{x^2+2x+2}-3>0\quad\Leftrightarrow\quad 4^{x^2+2x+2}>4^{\log_43}\quad\Leftrightarrow\quad x^2+2x+1+1>\log_43\quad\Leftrightarrow\quad (x+1)^2>\log_43-1.\]

Заметим, что \(\log_43<\log_44=1\), следовательно, число \(\log_43-1<0\). Т.к. квадрат любого выражения всегда неотрицателен, то неравенство \((x+1)^2>\log_43-1\) выполнено при всех \(x\).
Следовательно, ОДЗ: \(x\in \mathbb{R}\).

Перейдем к неравенству: \[{\large{\left(4^{x^2-x-6}-4^0\right)\cdot \log_{0,25}\left(4^{x^2+2x+2}-3\right)\leqslant 0}}\] Преобразуем его по методу рационализации: \[\begin{aligned} &(4-1)(x^2-x-6-0)\cdot (0,25-1)\left(4^{x^2+2x+2}-3-1\right)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &3(x^2-x-6)\cdot (-0,75)\left(4^{x^2+2x+2}-4^1\right)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &(x^2-x-6)\cdot (4-1)(x^2+2x+2-1)\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[2ex]\Leftrightarrow\quad &(x+2)(x-3)\cdot (x+1)^2\geqslant 0\end{aligned}\] Решая данное неравенство методом интервалов, получим ответ: \[x\in (-\infty;-2]\cup\{-1\}\cup[3;+\infty).\]