Неравенства, решаемые методом рационализации (страница 2)

Найдем ОДЗ:

\[\begin{aligned}&\begin{cases} 1-x^2>0\\ 1-x^2\ne 1\\ 4x^2-4x+1>0\\ 2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}\ne 0 \end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} -1<x<1\\ x\ne 0\\ (2x-1)^2>0\\ (2x-1)^2\ne (1-x^2)^2\end{cases}\quad\Leftrightarrow\\[2ex] \Leftrightarrow\quad &\begin{cases} -1<x<1\\ x\ne 0\\ x\ne 0,5\\ 2x-1\ne \pm(1-x^2)\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} -1<x<1\\ x\ne 0\\ x\ne 0,5\\ x\ne -1\pm\sqrt3; 0; 2\end{cases}\end{aligned}\]

Таким образом, ОДЗ данного неравенства: \(x\in (-1;0)\cup(0;0,5)\cup(0,5;\sqrt3-1)\cup(\sqrt3-1;1)\).

Решим неравенство на ОДЗ. Сделаем замену \(t=2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}\). Тогда неравенство примет вид:

\[\dfrac 1t\leqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{1-t}t\leqslant 0\quad\Leftrightarrow \quad t\in (-\infty;0)\cup[1;+\infty).\]

Сделаем обратную замену:

\[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}\geqslant 1\\ &2-\log_{1-x^2}{(4x^2-4x+1)}<0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\log_{1-x^2}{\dfrac{4x^2-4x+1}{1-x^2}}\leqslant 0\\[2ex] &\log_{1-x^2}{\dfrac{4x^2-4x+1}{(1-x^2)^2}}>0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Преобразуем каждое из полученных неравенств по методу рационализации:

\[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &(1-x^2-1)\left(\dfrac{4x^2-4x+1}{1-x^2}-1\right)\leqslant 0\\[2ex] &(1-x^2-1)\left(\dfrac{4x^2-4x+1}{(1-x^2)^2}-1\right)>0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\dfrac{x^3(5x-4)}{(x+1)(x-1)}\leqslant 0\\[2ex] &\dfrac{x^3(x-2)(x^2+2x-2)}{(x-1)^2(x+1)^2}>0 \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Решая каждое неравенство методом интервалов и объединяя решения, мы получим:

\[x\in (-\infty;-\sqrt3-1)\cup(-1;\sqrt3-1)\cup[0,8;1)\cup(2;+\infty).\]

Пересекая данный ответ с ОДЗ, получим окончательный ответ:

\[x\in (-1;0)\cup(0;0,5)\cup(0,5;\sqrt3-1)\cup[0,8;1).\]

Рассмотрим числитель дроби: \[8^x-5\cdot 2^x=2^x\cdot 4^x-5\cdot 2^x=2^x\cdot (4^x-5)\] Следовательно, мы можем неравенство переписать в виде: \[\dfrac{2^x\cdot (4^x-5)}{(x^2-1)(2^x-2^{4-x})}\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2^x\cdot (4^x-4^{\log_45})}{(x-1)(x+1)(2^x-2^{4-x})}\geqslant 0\] Заметим, что \(2^x>0\) для любого \(x\), следовательно, можно разделить обе части неравенства на это положительное выражение, при этом знак неравенства не сменится. Теперь решим данное неравенство методом рационализации: \[\dfrac{(4-1)(x-\log_45)}{(x-1)(x+1)(2-1)(x-(4-x))}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow \quad \dfrac{(x-\log_45)}{(x-1)(x+1)(2x-4)}\geqslant 0\] Полученное неравенство можно решить методом интервалов:



Таким образом, ответ: \[x\in (-\infty;-1)\cup(1;\log_45]\cup(2;+\infty)\]

Рассмотрим числитель дроби: \[10^x-25\cdot 2^x-2\cdot 5^x+50= 2^x\cdot 5^x-25\cdot 2^x-2\cdot 5^x+50=2^x(5^x-25)-2(5^x-25)=(5^x-25)(2^x-2)\] Следовательно, домножив также обе части неравенства на \(-1\) и сменив знак неравенства на противоположный, мы можем неравенство переписать в виде: \[\dfrac{(5^x-25)(2^x-2)}{x^2-5x+4}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(5^x-5^2)(2^x-2^1)}{(x-1)(x-4)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом рационализации: \[\dfrac{(5-1)(x-2)(2-1)(x-1)}{(x-1)(x-4)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow \quad \dfrac{(x-2)(x-1)}{(x-1)(x-4)}\leqslant 0\] Полученное неравенство можно решить методом интервалов:



Таким образом, ответ: \[x\in [2;4)\]

Рассмотрим числитель дроби: \[15^x-3^{x+1}-5^{x+1}+15= 3^x\cdot 5^x-3\cdot 3^x-5\cdot 5^x+15=3^x(5^x-3)-5(5^x-3)=(5^x-3)(3^x-5)\] Следовательно, домножив также обе части неравенства на \(-1\) и сменив знак неравенства на противоположный, мы можем неравенство переписать в виде: \[\dfrac{(5^x-3)(3^x-5)}{x^2-2x}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(5^x-5^{\log_53})(3^x-3^{\log_35})}{x(x-2)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом рационализации: \[\dfrac{(5-1)(x-\log_53)(3-1)(x-\log_35)}{x(x-2)}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow \quad \dfrac{(x-\log_53)(x-\log_35)}{x(x-2)}\leqslant 0\] Полученное неравенство можно решить методом интервалов:



Таким образом, ответ: \[x\in (0;\log_53]\cup[\log_35;2)\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} &\begin{cases} x^2 + x > 0\\ x^2 + x \neq 1\\ x^2-4x+4 > 0 \end{cases} \ \Leftrightarrow\\ x \in \left(-\infty; -\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\right) \cup \left(-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; -1\right) &\cup \left(0; \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}; 2\right)\cup \left(2; +\infty\right) \end{aligned}\]

\[2\log_{x^2+x}\sqrt{x^2-4x+4} - \log_{x^2 + x}(x^2 + x)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \log_{x^2+x}\dfrac{x^2-4x + 4}{x^2+x}\leqslant 0.\] По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

\[\begin{aligned} &(x^2 + x - 1)\left(\dfrac{x^2-4x+4}{x^2+x} - 1\right)\leqslant 0 \ \ \Leftrightarrow\ \ (x^2 + x - 1)\cdot\dfrac{x^2-4x+4 - (x^2 + x)}{x^2+x}\leqslant 0 \ \ \Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\ \ (x^2 + x - 1)\cdot\dfrac{-5x+4}{x^2+x}\leqslant 0\ \ \Leftrightarrow\ \ (x^2 + x - 1)\cdot\dfrac{5x - 4}{x^2+x}\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x \in\left[-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; -1\right)\cup\left(0; \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right]\cup[0,8; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \(x \in\left(-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; -1\right) \cup \left(0; \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left[0,8; 2\right)\cup \left(2; +\infty\right)\).
Окончательный ответ \[x \in \left(-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}; -1\right) \cup \left(0; \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left[0,8; 2\right)\cup \left(2; +\infty\right)\,.\]

ОДЗ:

\[\begin{cases} x + \pi^e > 0\\ x + \pi^e \neq 1\\ x - 2016 > 0 \end{cases}\qquad\Leftrightarrow\qquad x > 2016.\]

По методу рационализации на ОДЗ: \[(x + \pi^e - 1)(x - 2016 - 1) > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x + \pi^e - 1)(x - 2017) > 0,\] что при \(x > 2016\) равносильно \[x - 2017 > 0,\] откуда \(x\in(2017; +\infty)\).
Пересечем ответ с ОДЗ: \[x \in (2017; +\infty)\,.\]

ОДЗ: \[\begin{cases} x + 7 > 0\\ x + 7\neq 1\\ x^2 + 4 > 0\\ x^2 - 1 > 0\\ x > 0\\ x\neq 1\\ \sqrt{x + 7} > 0\\ \sqrt{x + 7} \neq 1\\ \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 1\,.\]

На ОДЗ:
исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} &\log_{(x + 7)} (x^2 + 4) - \log_{(x + 7)}(x^2 - 1) < -\log_{\sqrt{x + 7}}x\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad\log_{(x + 7)} \dfrac{x^2 + 4}{x^2 - 1} < -2\log_{|x + 7|}x\qquad\Leftrightarrow\qquad \log_{(x + 7)} \dfrac{x^2 + 4}{x^2 - 1} < -\log_{(x + 7)}x^2\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad \log_{(x + 7)} \dfrac{x^2 + 4}{x^2 - 1} + \log_{(x + 7)}x^2 < 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\log_{(x + 7)} \dfrac{x^2(x^2 + 4)}{x^2 - 1} < 0 \end{aligned}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} &\log_{(x + 7)} \dfrac{x^2(x^2 + 4)}{x^2 - 1} < 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x + 7 - 1)\left(\dfrac{x^2(x^2 + 4)}{x^2 - 1} - 1\right) < 0\quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (x + 6)\cdot\dfrac{x^4 + 3x^2 + 1}{x^2 - 1} < 0\,. \end{aligned}\]

\[x^4 + 3x^2 + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 + x^2 = (x^2 + 1)^2 + x^2 > 0,\] тогда

\[\begin{aligned} (x + 6)\cdot\dfrac{x^4 + 3x^2 + 1}{x^2 - 1} < 0\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{x + 6}{x^2 - 1} < 0, \end{aligned}\]

но на ОДЗ (при \(x > 1\)) у выражения в левой части последнего неравенства числитель и знаменатель не обращаются в \(0\), тогда оно знакопостоянно при \(x > 1\).

Так как \[\dfrac{x + 6}{x^2 - 1} > 0\qquad \text{при}\qquad x = 2,\] то у исходного неравенства решений нет.