Решение неравенств прошлых лет

Ограничения на \(x\) для логарифмов: \[\begin{cases} 11x^2+10>0\\ x^2+x+1>0\\ \dfrac x{x+8}+10>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x\in \mathbb{R}, \text{ так как }x^2\geqslant 0\\ x\in \mathbb{R}, \text{ так как }D<0 \text{ и коэффициент при } x^2 \text{ больше 0}\\ x\in (-\infty;-8)\cup \left(-\dfrac{80}{11}; +\infty\right)\end{cases}\]

Решим неравенство при этих ограничениях.
Воспользуемся формулой \(\log_c a-\log_cb=\log_c\frac ab\): \[\begin{aligned} &\log_7\left(\dfrac{11x^2+10}{x^2+x+1}\right)\geqslant \log_7\left(\dfrac{x+10x+80}{x+8}\right)\quad\Rightarrow\\[2ex] &\dfrac{11x^2+10}{x^2+x+1}\geqslant\dfrac{x+10x+80}{x+8} \quad\Rightarrow\\[2ex] &\dfrac{-3x^2-81x}{(x+8)(x^2+x+1)}\geqslant 0\quad\Rightarrow\\[2ex] &\dfrac{x(x+27)}{(x+8)(x^2+x+1)}\leqslant 0 \end{aligned}\] Как уже говорилось выше, \(x^2+x+1>0\), следовательно, неравенство можно переписать в виде: \[\dfrac{x(x+27)}{x+8}\leqslant 0\] Решая полученное неравенство методом интервалов, получим \[x\in (-\infty; -27]\cup(-8; 0]\] Учитывая ограничения на \(x\), получим окончательный ответ: \[(-\infty; -27]\cup\left(-\frac{80}{11}; 0\right]\]

ОДЗ неравенства: \[\begin{cases} x^2-4>0\\ x+2>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x>2\] Решим неравенство на ОДЗ.
Пользуясь формулой \(a^{\log_bc}=c^{\log_ba}\), неравенство можно записать в виде: \[2^{\lg(x^2-4)}\geqslant 2^{\lg(x+2)}\] Так как основания \(2>1\), то неравенство можно переписать так (знак неравенства не сменится):\[\lg (x^2-4) \geqslant \lg(x+2)\] Так как снова основания логарифмов \(10>1\), то неравенство на ОДЗ равносильно \[x^2-4\geqslant x+2\quad\Leftrightarrow\quad (x+2)(x-2)-(x+2)\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad (x+2)(x-3)\geqslant 0\] Решением этого неравенства будут \(x\in (-\infty;-2]\cup[3;+\infty)\). Пересекая полученный ответ с ОДЗ, получим: \[x\in [3;+\infty)\]

Выпишем ОДЗ неравенства: \[\begin{cases} (x+4)^2>0\\ (x+4)^2\ne 1\\3x^2-x-1>0\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-\infty;-5)\cup(-5;-4)\cup(-4;-3)\cup\left(-3;\dfrac{1-\sqrt{13}}6\right) \cup\left(\dfrac{1+\sqrt{13}}6;+\infty\right)\] Решим неравенство на ОДЗ. Воспользуемся методом рационализации: \[((x+4)^2-1)\cdot (3x^2-x-1-1)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (x+3)(x+5)(x-1)(3x+2)\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:

Следовательно, \[x\in [-5;-3]\cup\left[-\dfrac23;1\right]\] Пересечем полученный ответ с ОДЗ и найдем итоговый ответ: \[x\in (-5;-4)\cup(-4;-3)\cup\left[-\dfrac23;\dfrac{1-\sqrt{13}}6\right) \cup\left(\dfrac{1+\sqrt{13}}6;1\right]\]

Найдем ОДЗ логарифмов: \[\begin{cases} 9x>0\\ 64x>0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x>0\] Заметим, что на этом ОДЗ \(|x|=x\). Тогда на ОДЗ по методу рационализации неравенство равносильно: \[\dfrac{(3-1)(9x-1)(4-1)(64x-1)}{x(5x-1)}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(9x-1)(64x-1)}{x(5x-1)}\leqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:



Следовательно, решением будут \(x\in \left(0;\dfrac1{64}\right]\cup\left[\dfrac19;\dfrac15\right)\).
Пересекая данный ответ с ОДЗ \(x>0\), получаем окончательный ответ: \[x\in \left(0;\dfrac1{64}\right]\cup\left[\dfrac19;\dfrac15\right)\]

ОДЗ неравенства: \(x\in \mathbb{R}\).
Сделаем замену: \(2^{-x^2+6x-4}=t\). Тогда неравенство примет вид: \[t^2-34t+64\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (t-32)(t-2)\geqslant0 \quad\Leftrightarrow\quad t\in (-\infty;2]\cup[32;+\infty)\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2^{-x^2+6x-4}\leqslant 2\\ &2^{-x^2+6x-4}\geqslant 32 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &-x^2+6x-4\leqslant 1\\[2ex] &-x^2+6x-4\geqslant 5 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2-6x+5\geqslant 0\\ &x^2-6x+9\leqslant 0\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Так как \(x^2-6x+9=(x-3)^2\), то получаем: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &(x-1)(x-5)\geqslant 0\\ &(x-3)^2\leqslant 0\end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\in (-\infty;1]\cup[5;+\infty)\\ &x=3\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

ОДЗ неравенства: \(x\in \mathbb{R}\).
Сделаем замену: \(3^{-x^2+4x-1}=t\). Тогда неравенство примет вид: \[t^2-36t+243\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (t-9)(t-27)\geqslant0 \quad\Leftrightarrow\quad t\in (-\infty;9]\cup[27;+\infty)\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &3^{-x^2+4x-1}\leqslant 9\\ &3^{-x^2+4x-1}\geqslant 27 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &-x^2+4x-1\leqslant 2\\ &-x^2+4x-1\geqslant 3 \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2-4x+4\geqslant 1\\ &x^2-4x+4\leqslant 0\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Так как \(x^2-4x+4=(x-2)^2\), то получаем: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &(x-2)^2\geqslant 1\\ &(x-2)^2\leqslant 0\end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow \quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\in (-\infty;1]\cup[3;+\infty)\\ &x=2\end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Сделаем замену: \(8^x=t\). Тогда: \[\dfrac{8t-40}{2t^2-32}\leqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{4t-20}{t^2-16}-1\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2-4t+4}{t^2-16}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-2)^2}{(t-4)(t+4)}\geqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов, получаем: \[t\in (-\infty;-4)\cup\{2\}\cup(4;+\infty)\] Следовательно:
\(\bullet\) \(8^x<-4\) — данное неравенство не имеет решений (так как \(8^x>0\) при всех \(x\))

\(\bullet\) \(8^x=2\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac13\)   \(\bullet\) \(8^x>4\quad\Rightarrow\quad x>\dfrac23\)