Смешанные неравенства

Так как \(e^x > 0\) – при любом \(x\), то \(-5e^x < 0\), следовательно, \(\ln(-5e^x)\) не определён ни при каких \(x\in\mathbb{R}\).

Так как \(e^x > 0\) – при любом \(x\), то

\[\begin{aligned} &\ln(5e^x)\geqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad\ln(5e^x)\geqslant \ln e\qquad\Leftrightarrow\qquad 5e^x\geqslant e\qquad\Leftrightarrow\qquad e^{\ln 5}e^x\geqslant e\qquad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\qquad e^x\geqslant \dfrac{e}{e^{\ln 5}}\qquad\Leftrightarrow\qquad e^x\geqslant e^{1 - \ln 5}\qquad\Leftrightarrow\qquad x\geqslant 1 - \ln 5\,. \end{aligned}\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x + \dfrac{\pi}{2} > 0\\ x + \dfrac{\pi}{2}\neq 1\\ x + 3 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} x > -\dfrac{\pi}{2}\\ x \neq -\dfrac{\pi}{2} + 1 \end{cases} \end{aligned}\]

Заметим, что \[x + 3 > x + \dfrac{\pi}{2} + 1\]

Рассмотрим два случая:
1) \(x > -\dfrac{\pi}{2} + 1\), тогда \[\log_{x + \frac{\pi}{2}} (x + 3) > 0\] и исходное неравенство равносильно \[x \leqslant 0,\] то есть в этом случае подходят \[x\in \left(-\dfrac{\pi}{2} + 1; 0\right]\] 2) \(-\dfrac{\pi}{2} < x < -\dfrac{\pi}{2} + 1\), тогда \[\log_{x + \frac{\pi}{2}} (x + 3) < 0\] и исходное неравенство равносильно \[x \geqslant 0,\] то есть в этом случае подходящих \(x\) нет.
В итоге ответ с учётом ОДЗ: \[x\in \left(-\dfrac{\pi}{2} + 1; 0\right]\,.\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x + 2 > 0\\ x + 2\neq 1\\ x^2 + 7x > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 0 \end{aligned}\]

На ОДЗ \(2x + 15 > 0\), \(x + 2 > 1\), следовательно, исходное неравенство на ОДЗ равносильно

\[\begin{aligned} \log_{x + 2} (x^2 + 7x) \leqslant \log_{x + 2} 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x^2 + 7x - 1\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов:



откуда \(x\in\left[\dfrac{-7 - \sqrt{53}}{2}; \dfrac{-7 + \sqrt{53}}{2}\right]\).
Пересечём ответ с ОДЗ: \[x\in\left(0; \dfrac{-7 + \sqrt{53}}{2}\right]\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} x > 0\\ x\neq 1\\ x - 3 > 0\\ e^x + 2\neq 0\\ \log_{2}(x + 11)\neq 0\\ x + 11 > 0 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x > 3\,. \end{aligned}\]

По методу рационализации: на ОДЗ

\[\begin{aligned} \dfrac{\log_{x}(x - 3)}{(e^x + 2)\cdot\log_{2}(x + 11)}\leqslant 0\qquad&\Rightarrow\qquad \dfrac{(x - 1)(x - 3 - 1)}{(e^x + 2)\cdot(2 - 1)(x + 11 - 1)}\leqslant 0\,. \end{aligned}\]

С учётом ОДЗ последнее неравенство равносильно

\[\begin{aligned} x - 4\leqslant 0 \end{aligned}\]

Таким образом, с учётом ОДЗ: \[x\in (3; 4].\]

ОДЗ неравенства: \[\begin{cases} \dfrac32x+1>0\\[2ex] \dfrac32x+1\ne 1\end{cases}\quad \Leftrightarrow\quad x\in \left(-\dfrac23;0\right)\cup(0;+\infty)\] Решим неравенство на ОДЗ. Так как \(a^{\log_ab}=b\), то \[4^{\frac{9x^2}4}-2^{\frac{9x^2}4-1}\leqslant 3\] Сделаем замену \(t=2^{\frac{9x^2}4}\), \(t>0\), тогда \[t^2-0,5t-3\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \left(t+\frac32\right)(t-2)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t\in \left[-\dfrac32;2\right]\] Так как \(t>0\), то получаем \(t\leqslant 2\). Сделаем обратную замену: \[\begin{aligned} &2^{\frac{9x^2}4}\leqslant 2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{9x^2}4\leqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad \left(x-\dfrac23\right)\left(x+\dfrac23\right)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\\[2ex] &x\in \left[-\dfrac23;\dfrac23\right]\end{aligned}\] Пересечем ответ с ОДЗ и получим \[x\in \left(-\dfrac23; 0\right)\cup\left(0;\dfrac23\right]\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} \begin{cases} 5^x > 0\\ 5^x \neq 1\\ 25^{x + 1} > 0\\ 25^{x + 1}\neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad x \in(-\infty; -1)\cup(-1; 0)\cup(0; +\infty) \end{aligned}\]

Сделаем замену \(\log_{5^x} 25^{x + 1} = y\):

\[\begin{aligned} y + \dfrac{1}{y} - 2 > 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{y^2 - 2y + 1}{y} > 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(y - 1)^2}{y} > 0\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} y > 0\\ y\neq 1, \end{cases} \end{aligned}\]

откуда

\[\begin{aligned} \begin{cases} \log_{5^x} 25^{x + 1} > 0\\ \log_{5^x} 25^{x + 1}\neq 1 \end{cases} \qquad\Leftrightarrow\qquad \begin{cases} \dfrac{2x + 2}{x} > 0\\ \dfrac{2x + 2}{x} \neq 1 \end{cases} \end{aligned}\]

Решая первое неравенство последней системы, получаем: \[x\in (-\infty; -1)\cup(0; +\infty)\] Решая второе неравенство последней системы, получаем: \[x\in (-\infty; -2)\cup(-2; 0)\cup(0; +\infty)\] В итоге: \[x\in (-\infty; -2)\cup(-2; -1)\cup(0; +\infty)\] – подходит по ОДЗ.