Смешанные неравенства (страница 3)

Рассмотрим первый множитель левой части: \(2^{-|x-2|}\). Так как модуль всегда неотрицателен, то \(|x-2|\geqslant 0 \quad\Rightarrow\quad -|x-2|\leqslant 0\). Следовательно, \[2^{-|x-2|}\leqslant 2^0=1.\]

Рассмотрим второй множитель: \(\log_2(4x-x^2-2)\). Заметим, что \(4x-x^2-2=-(x^2-4x+4)+2=-(x-2)^2+2\). Так как квадрат любого выражения – число неотрицательное, то \((x-2)^2\geqslant 0\quad\Rightarrow\quad -(x-2)^2\leqslant 0\quad\Rightarrow\quad -(x-2)^2+2\leqslant 2\). Следовательно, \[\log_2(4x-x^2-2)\leqslant \log_22=1.\]

Следовательно, оба множителя в левой части \(\leqslant 1\), а значит и их произведение \(\leqslant 1\). Значит, неравенство будет иметь решения тогда и только тогда, когда их произведение равно \(1\), то есть оба они равны по \(1\). Таким образом, получаем, что \(x=2\) – единственное решение неравенства.

Выпишем ОДЗ: \[\begin{cases} \sin x+\cos x+4>0\\ \sin x+\cos x+4\ne 1\\ x^2+1>0\\ 2\sin x\cos x+4,5>0\\ 2\sin x\cos x+4,5\ne 1 \end{cases}\] Так как по формуле вспомогательного аргумента \[\sin x+\cos x=\sqrt2\left(\dfrac{\sqrt2}2\sin x+\dfrac{\sqrt2}2\cos x\right)=\sqrt2\sin \left(x+\dfrac{\pi}4\right),\] а по формуле двойного угла \(2\sin x\cos x=\sin2x\), то \[\begin{cases} \sin \left(x+\dfrac{\pi}4\right)>-2\sqrt2\\[2ex] \sin \left(x+\dfrac{\pi}4\right) \ne -\dfrac32\sqrt2\\[2ex] \sin 2x>-4,5\\ \sin 2x\ne -3,5 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad x\in \mathbb{R}.\]

Заметим, что при одинаковых аргументах один логарифм будет \(\geqslant \) другого логарифма в одном из двух случаев:

1) Аргументы этих логарифмов равны \(1\). Тогда \(x^2+1=1 \quad\Rightarrow\quad x=0\).
Тогда неравенство принимает вид: что на ОДЗ равносильно \[0\geqslant 0 \ ,\] что является верным неравенством. Следовательно, \(x=0\) является решением неравенства.

2) При \(x\ne 0\).
Заметим, что функция \(f(x)=\log_xa\) является убывающей (докажите это самостоятельно) при \(a>1\) и возрастающей при \(a<1\). В нашем случае \(x^2+1>1\), следовательно, функция убывает. Значит, чем больше значение функции, тем меньше значение \(x\). Следовательно, при \(x\ne 0\) неравенство равносильно \[\begin{aligned} &\sin x+\cos x+4\leqslant 2\sin x\cos x+4,5 \quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad (1-2\cos x)\left(\sin x-\dfrac12\right)\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \left(\cos x-\dfrac12\right)\left(\sin x-\dfrac12\right)\geqslant 0 \end{aligned}\] Данное неравенство равносильно совокупности систем: \[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} \sin x\geqslant \dfrac12\\[2ex] \cos x\geqslant \dfrac12 \end{cases}\\ &\begin{cases} \sin x\leqslant \dfrac12\\[2ex] \cos x\leqslant \dfrac12 \end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\]

Решим каждую систему по окружности:
первая система:



вторая система:



Тогда ответом будут \(x\in \left[\dfrac{\pi}6+2\pi n;\dfrac{\pi}3+2\pi n\right]\cup \left[\dfrac{5\pi}6+2\pi n; \dfrac{5\pi}3+2\pi n\right]\), \(n\in\mathbb{Z}\).

Тогда окончательный ответ – это объединение решений \(x=0\) и \(x\in \left[\dfrac{\pi}6+2\pi n;\dfrac{\pi}3+2\pi n\right]\cup \left[\dfrac{5\pi}6+2\pi n; \dfrac{5\pi}3+2\pi n\right]\), \(n\in\mathbb{Z}\), то есть \[x\in\left[\dfrac{\pi}6+2\pi n;\dfrac{\pi}3+2\pi n\right]\cup \left[\dfrac{5\pi}6+2\pi n; \dfrac{5\pi}3+2\pi n\right]\cup \{0\}, \quad n\in\mathbb{Z}.\]

Запишем ОДЗ: \[\begin{cases} x^2>0 \\ 2x+3>0 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad x\in (-1,5;0)\cup(0;+\infty)\] Тогда на ОДЗ второе слагаемое левой части можно преобразовать так: \[{\large{2\cdot |x|^{\log_29}=2\cdot \left(|x|^{\log_23}\right)^2=2\cdot \left(3^{\log_2|x|}\right)^2=2\cdot 3^{\log_2x^2}}}\] Правую часть можно преобразовать так: \[{\large{3\cdot \left(3^{-1}\right)^{\log_{0,5}(2x+3)}= 3\cdot 3^{-\log_{0,5}(2x+3)}=3\cdot 3^{\log_2(2x+3)}}}\] Тогда все неравенство перепишется в виде: \[{\large{3^{\log_2x^2}+2\cdot 3^{\log_2x^2}\leqslant 3\cdot 3^{\log_2(2x+3)} \quad\Rightarrow\quad 3^{\log_2x^2}\leqslant 3^{\log_2(2x+3)}}}\quad\Rightarrow\quad \log_2x^2\leqslant \log_2(2x+3)\quad\Rightarrow\quad x^2\leqslant 2x+3\] Получили квадратичное неравенство \(x^2-2x-3\leqslant 0\), решением которого будут \(x\in [-1;3]\). Пересекая полученное решение с ОДЗ, получим ответ: \[x\in [-1;0)\cup(0;3]\]