Решение уравнений
Решите уравнение \[\sin y=0\]
В ответе укажите целый корень уравнения.
Данное уравнение равносильно серии корней \[y=\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.\] Заметим, что единственный целый корень из этой серии получается при \(n=0\) и это \(y=0\) (все остальные корни будут вида целое число умножить на \(\pi\), что является иррациональным числом).
Решите уравнение \[\sin \alpha=1\]
В ответе укажите наименьший положительный корень уравнения, деленный на \(\pi\).
Данное уравнение равносильно серии корней \[\alpha=\dfrac{\pi}2+2\pi
n,\qquad n\in\mathbb{Z}.\] Найдем положительные корни уравнения, решив неравенство: \[\dfrac{\pi}2+2\pi n>0\quad\Leftrightarrow\quad n>-\dfrac14
\quad\Rightarrow\] наименьшее подходящее целое \(n\) — это \(n=0\), при котором получается \(\alpha=\dfrac{\pi}2\).
Следовательно, в ответ пойдет \[\dfrac{\pi}2\div\pi=\dfrac12=0,5.\]
Решите уравнение \[\cos x=\dfrac12\]
В ответе укажите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения.
Данное уравнение равносильно серии корней \[x_1=\dfrac{\pi}3+2\pi n\quad {\small{\text{и}}}\quad x_2=-\dfrac{\pi}3+2\pi m, \qquad n, m\in\mathbb{Z}.\] Найдем положительные корни уравнения, решив неравенства: \[\begin{aligned} \dfrac{\pi}3+2\pi n>0\quad&\Leftrightarrow\quad n>-\dfrac16\\[2ex] -\dfrac{\pi}3+2\pi m>0\quad&\Leftrightarrow\quad m>\dfrac16 \end{aligned}\] Следовательно, наименьшее подходящее целое \(n\) — это \(n=0\), при котором получается \(x=\dfrac{\pi}3\); наименьшее подходящее целое \(m\) – это \(m=1\), при котором получается \(x=\dfrac{5\pi}3\). Очевидно, что \(\dfrac{\pi}3<\dfrac{5\pi}3\).
Аналогично найдем наибольший отрицательный корень (он будет получаться из второй серии корней при \(m=0\)): \(x=-\dfrac{\pi}3\).
Тогда сумма наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней равна \(-\dfrac{\pi}3+\dfrac{\pi}3=0\).
Решите уравнение \[\cos x=-1\]
В ответе укажите сумму наименьших трех положительных корней уравнения, деленную на \(\pi\).
Данное уравнение равносильно \[x=-\pi+2\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.\] Найдем положительные корни уравнения, решив неравенство: \[-\pi+2\pi n>0 \quad\Leftrightarrow\quad n>\dfrac12\quad\Rightarrow\] первые три положительных корня получаются при \(n=1; \ 2; \ 3\) и это \(x=\pi; \ 3\pi; \ 5\pi\). Следовательно, их сумма, деленная на \(\pi\), равна \(9\pi\div\pi=9.\)
Решите уравнение \[\cos \dfrac x2=-1\]
В ответе укажите произведение наибольших двух отрицательных корней уравнения, деленное на \(\pi^2\).
Данное уравнение равносильно \[\dfrac x2=\pi+2\pi n\quad\Leftrightarrow\quad x=2\pi+4\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.\] Найдем отрицательные корни уравнения, решив неравенство: \[2\pi+4\pi n<0\quad\Leftrightarrow\quad n<-\dfrac12\quad\Rightarrow\] последние два отрицательных корня получаются при \(n=-2; \ -1\) и это \(x=-6\pi; \ -2\pi\). Следовательно, их произведение, деленное на \(\pi^2\), равно \(12\pi^2\div \pi^2=12.\)
Решите уравнение \[\mathrm{tg}\, \dfrac x3=1\]
В ответе укажите произведение наибольшего отрицательного и наименьшего положительного корней уравнения, деленное на \(\pi^2\).
Данное уравнение равносильно \[\dfrac x3=\dfrac{\pi}4+\pi n\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{3\pi}4+3\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.\]
Найдем отрицательные корни уравнения, решив неравенство: \[\dfrac{3\pi}4+3\pi n<0\quad\Leftrightarrow\quad n<-\dfrac14\quad\Rightarrow\] наибольший отрицательный корень получается при \(n=-1\) и это \(x=-\dfrac{9\pi}4\).
Найдем положительные корни уравнения, решив неравенство: \[\dfrac{3\pi}4+3\pi n>0\quad\Leftrightarrow\quad n>-\dfrac14\quad\Rightarrow\] наибольший отрицательный корень получается при \(n=0\) и это \(x=\dfrac{3\pi}4\).
Тогда произведение, деленное на \(\pi^2\), равно \[-\dfrac{9\pi}4\cdot \dfrac{3\pi}4\div\pi^2=-\dfrac{27}{16}=-1,6875.\]
Решите уравнение \[\mathrm{tg}\, \dfrac x6=\sqrt3\]
В ответе укажите наименьший корень, принадлежащий отрезку \([0;2\pi]\), деленный на \(\pi\).
Данное уравнение равносильно \[\dfrac x6=\dfrac{\pi}3+\pi n\quad\Leftrightarrow\quad x=2\pi+6\pi n, \qquad n\in\mathbb{Z}.\] Корни, принадлежащие отрезку \([0;2\pi]\), найдем, решив неравенство: \[0\leqslant 2\pi+6\pi n\leqslant 2\pi\quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac13\leqslant n\leqslant 0\] Целое \(n\), принадлежащее отрезку \(\left[-\frac13;0\right]\), это \(n=0\). Следовательно, корень \(x=2\pi\). Следовательно, в ответ пойдет \(2\).
