Сложные задачи прикладного характера

Заметим, что \(\dfrac{112,5}{100}=\dfrac{9}{8}\).

Составим таблицу (суммы будем записывать в тыс. рублей), \(x\) – ежемесячный платеж: \[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Месяц} & \text{Сумма долга до начисления } \% & \text{Сумма долга после начисления } \% \text{ и платежа} \\[5pt] \hline 1 & 680 & \frac{9}{8}\cdot 680 - x \\[5pt] \hline 2 & \frac{9}{8}\cdot 680 - x & \frac{9}{8}\left(\frac{9}{8}\cdot 680 - x\right)-x\\[5pt] \hline \end{array}\]

\(\Rightarrow \dfrac{9}{8}\left(\dfrac{9}{8}\cdot 680 - x\right)-x=0 \Rightarrow x=405\) тыс. рублей.

Таким образом, переплата по кредиту составила \(2x-A=130\) тыс. рублей.

Пусть \(A\) рублей – сумма кредита, \(x\) рублей – ежегодный платеж. Тогда составим таблицу:

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до начисления } \% & \text{Сумма долга после начисления } \% \text{ и платежа}\\ \hline 1 & A & 1,2A-x\\ \hline 2 & 1,2A-x & 1,2(1,2A-x)-x\\ \hline 3 & 1,2(1,2A-x)-x & 1,2(1,2(1,2A-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Следовательно, \(1,2(1,2(1,2A-x)-x)-x=0 \ (*)\).

Всего за три года Олег выплатил банку \(3x\) рублей, а его переплата составила \(3x-A=675\,500\) рублей. Отсюда \(A=3x-675\,500\). Подставим это значение в \((*)\):

\(1,2^3\cdot (3x-675\,500)-x(1,2^2+1,2+1)=0 \Rightarrow \)  

\(x= \dfrac{1,2^3\cdot 675\,500}{3\cdot1,2^3-1,2^2-2,2}=\dfrac{12^3\cdot 675\,500}{1\,544}=756\,000 \Rightarrow 3x=2\,268\,000\) рублей.

Так как кредит нужно выплачивать равными ежегодными платежами, то платежи аннуитетные. Пусть \(x\) рублей — этот ежегодный платеж, \(A\) рублей – сумма кредита.
Сумма долга каждый год увеличивается на четверть, то есть на \(\frac14\). Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг на начало года}&\text{После начисления }\% &\text{После платежа}\\[2ex] \hline 1& A&A+\frac 14A=\frac 54A&\frac 54A-x\\[2ex] \hline 2& \frac 54A-x& \frac54\left(\frac54A-x\right)& \frac54\left(\frac54A-x\right)-x\\[2ex] \hline 3&\frac54\left(\frac54A-x\right)-x& \frac54\left(\frac54\left(\frac54A-x\right)-x\right)& \frac54\left(\frac54\left(\frac54A-x\right)-x\right)-x\\[2ex] \hline \end{array}\] Таким образом, имеем: \[\frac54\left(\frac54\left(\frac54A-x\right)-x\right)-x=0 \quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{\left(\frac54\right)^3}{\left(\frac54\right)^2+\frac54+1}\cdot A\]

Переплата по кредиту равна \(3x-A\), следовательно, необходимо найти: \[\dfrac{3x-A}{A}\cdot 100\%= \left(\dfrac{3\cdot \left(\frac54\right)^3} {\left(\frac54\right)^2+\frac54+1}-1\right)\cdot 100\%=\left(\dfrac{3\cdot 5^3}{5^2\cdot 4+5\cdot 4^2+4^3}-1\right)\cdot 100\%=\dfrac{131}{244}\cdot 100\%\sim 54\%.\]

Пусть кредит взят на сумму \(A\), пусть \(x\) – ежегодный платеж. Составим таблицу. \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг на начало года}&\text{После начисления }\% &\text{После платежа}\\ \hline 1&A&1,25\cdot A&1,25\cdot A-x\\ \hline 2&1,25\cdot A-x&1,25(1,25\cdot A-x)&1,25(1,25\cdot A-x)-x\\ \hline 3&1,25(1,25\cdot A-x)-x&1,25(1,25(1,25\cdot A-x)-x)&1,25(1,25(1,25\cdot A-x)-x)-x\\ \hline 4&1,25(1,25(1,25\cdot A-x)-&1,25(1,25(1,25(1,25\cdot A-x)-& 1,25(1,25(1,25(1,25\cdot A-x)-\\ &-x)-x&-x)-x)&-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Тогда имеем уравнение: \[1,25(1,25(1,25(1,25\cdot A-x)-x)-x)-x=0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac Ax=\dfrac{1,25^3+1,25^2+1,25+1}{1,25^4}\]

Переплата по кредиту равна \(4x-A\). Следовательно, число процентов, которое составляет переплата от платежа, равно: \[\dfrac{4x-A}{x}\cdot 100\%=\left(4-\dfrac Ax\right)\cdot 100\%\]

Заметим, что \(1,25=\frac54\). Тогда: \[\left(4-\dfrac{5^3\cdot 4+5^2\cdot 4^2+5\cdot 4^3+4^4}{5^4}\right)\cdot 100\%= \left(4-\dfrac{500+400+320+256}{625}\right)\cdot 100\%=\dfrac{1024\cdot 4}{25}\%=\dfrac{1024\cdot 4^2}{100}\%=163,84\%\]

Значит, переплата превышает платеж на \(63,84\%\).

Составим таблицу, обозначив за \(x\) рублей ежегодный платеж, \(A=664\,200\) рублей.

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Сумма долга до начисления }\% & \text{Сумма долга после начисления }\%\text{ и платежа} \\ \hline 1 & A & 1,25A-x\\ \hline 2 & 1,25A-x & 1,25(1,25A-x)-x\\ \hline 3 & 1,25(1,25A-x)-x & 1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x \\ \hline 4 & 1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x & 1,25(1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, \(1,25(1,25(1,25(1,25A-x)-x)-x)-x=0\).

Отсюда \(x=\dfrac{1,25^4\cdot A}{(1,25^2+1)(1,25+1)}\).

Заметим, что \(1,25=\dfrac{5}{4} \Rightarrow\)

\(x=\dfrac{5^4\cdot 664\,200}{4\cdot 9\cdot 41}\).

Выполнив сокращения, получим, что \(x=281\,250\) рублей.

Составим таблицу, обозначив за \(A\) руб. сумму кредита, а за \(x\) руб. ежегодный платеж.

\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} & \text{Долг в руб.} & \text{Долг в руб.} & \text{Долг в руб.}\\ & \text{до начисления} & \text{после начисления} & \text{после внесения} \\ & \text{процентов} & \text{процентов} & \text{платежа} \\ \hline 1&A &1,125A &1,125A-x \\ \hline 2&1,125A-x &1,125(1,125A-x) &1,125(1,125A-x)-x \\ \hline 3&1,125(1,125A-x)-x &1,125(1,125(1,125A- &1,125(1,125(1,125A- \\ & &-x)-x) &-x)-x)-x\\ \hline 4&1,125(1,125(1,125A- &1,125(1,125(1,125(1,125A- &1,125(1,125(1,125(1,125A-x)- \\ & -x)-x)-x &-x)-x)-x) &-x)-x)-x \\ \hline \end{array}\]

Т.к. в конце четвертого года Василий погасил кредит, то

\[1,125(1,125(1,125(1,125A-x)-x)-x)-x=0\]

Это уравнение преобразуется в уравнение вида:

\[1,125^4A-x(1,125^3+1,125^2+1,125+1)=0 \ \ (*)\]

Заметим, что за четыре года Василий заплатил банку \(4x\) рублей, а, значит, его переплата составила \(4x-A\) рублей. Т.к. \(4x-A=65\,240\), то \(A=4x-65\,240\). Значит:

\[1,125^4(4x-65\,240)-x(1,125^3+1,125^2+1,125+1)=0\]

Заметим также, что \(1,125=\dfrac{9}{8} \Rightarrow\)

\[x=\dfrac{9^4\cdot 2^3\cdot 5\cdot 7\cdot233}{9^4\cdot4-8(9^3+9^2\cdot8+9\cdot8^2+8^3)}=65\,610\]

Значит, ежегодный платеж составил \(65\,610\) рублей.

Т.к. процентная ставка в банке равна \(10 \%\), то \(15\) декабря \(2015\) года долг Алексея составит \(110 \%\) от первоначальной суммы (\(1\,209\,600\) рублей), т.е. будет равен \(1,1\cdot 1\,209\,600\) рублей. После этого Алексей переводит банку \(x\) рублей, то есть его долг уменьшается на \(x\) и будет равен \((1,1\cdot 1\,209\,600 -x)\) рублей.

До \(15\) декабря \(2016\) года долг Алексея остается неизменным, т.е. равен \((1,1\cdot 1\,209\,600 -x)\) рублей. \(15\) декабря \(2016\) банк снова увеличивает долг на \(10 \%\), т.е. долг Алексея уже будет равен \(1,1\cdot (1,1\cdot 1\,209\,600 -x)\) рублей.

После этого Алексей снова переводит банку \(x\) рублей, следовательно, долг равен \(1,1\cdot (1,1\cdot 1\,209\,600 -x)-x\).

Т.к. в конце 2-ого года кредит должен быть выплачен, то
\(1,1\cdot (1,1\cdot 1\,209\,600 -x)-x=0 \Rightarrow\)
\(1,1^2\cdot 1\,209\,600-1,1x-x=0 \Rightarrow x=\dfrac{1,1^2 \cdot 1\,209\,600}{1,1+1}=696\,960\)

Удобно следить за меняющейся суммой долга, составив таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} &\text{Сумма долга до начисления }\% &\text{После начисления } \% &\text{После платежа}\\ & \text{(до 15 декабря)} &\text{(15 декабря)} &\text{(с 16 по 31 декабря)}\\ \hline 1 & 1\,209\,600 &1,1\cdot 1\,209\,600 &1,1\cdot 1\,209\,600-x\\ \hline 2 & 1,1\cdot 1\,209\,600-x &1,1\cdot (1,1\cdot 1\,209\,600 -x) &1,1\cdot (1,1\cdot 1\,209\,600 -x)-x\\ \hline \end{array}\]