Сложные задачи прикладного характера (страница 2)

Пусть ежегодный платеж был равен \(x\) тыс. рублей. Тогда за 6 лет Леонид выплатил банку \(6x\) тыс. рублей. Следовательно, если \(A\) тыс. рублей — сумма кредита, то \(6x-A=3\,044\) тыс. рублей — и есть переплата по кредиту. Составим таблицу:

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\ \hline 1&1,5A&1,5A-x\\ \hline 2& 1,5(1,5A-x)&1,5(1,5A-x)-x=1,5^2A-x(1,5+1)\\ \hline \dots&\dots&\dots\\ \hline 5&1,5(1,5^4A-x(1,5^3+1,5^2+1,5+1))&1,5^5A-x(1,5^4+1,5^3+1,5^2+1,5+1)\\ \hline 6&1,5(1,5^5A-x(1,5^4+1,5^3+1,5^2+1,5+1))&1,5^6A-x(1,5^5+1,5^4+1,5^3+1,5^2+1,5+1)\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, т.к. в конце 6-ого года долг банку стал равен нулю, то

\[1,5^6A-x(1,5^5+1,5^4+1,5^3+1,5^2+1,5+1)=0 \quad \Leftrightarrow \quad A=\dfrac{1,5^5+1,5^4+1,5^3+1,5^2+1,5+1}{1,5^6}x\]

Числитель представляет собой сумму первых 6-ти членов геометрической прогрессии, где \(a_1=1, \ q=1,5\).

Эта сумма равна \(\dfrac{1,5^6-1}{1,5-1}\). Значит,

\[A=\dfrac{1,5^6-1}{1,5^6(1,5-1)}x\]

Заметим, что \(1,5=\frac32\), следовательно,

\[A=\dfrac{2(3^6-2^6)}{3^6(3-2)}x=\dfrac{2(3-2)(3+2)(3^2-3\cdot 2+2^2)(3^2+3\cdot 2+2^2)}{3^6}x= \dfrac{2\cdot 5\cdot 7\cdot 19}{3^6}x\]

Тогда, т.к. переплата \(3\,044=6x-A\), имеем следующее равенство, из которого можно найти \(x\):

\[\left(6-\dfrac{2\cdot 5\cdot 7\cdot 19}{3^6}\right)x=3044 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac{1522}{729}x=1522 \quad \Leftrightarrow \quad x=729\text{ тыс. рублей}\]

Составим таблицу, обозначив ежегодный платеж по кредиту за \(x\) тыс.рублей и делая вычисления в тыс.рублей:

\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} &\text{Долг до начисления }\% &\text{Долг после начисления }\% &\text{Долг после платежа}\\ \hline 1 &546 &1,2\cdot 546 &1,2\cdot 546-x\\ \hline 2 &1,2\cdot 546-x &1,2(1,2\cdot 546-x) &1,2(1,2\cdot 546-x)-x\\ \hline 3 &1,2(1,2\cdot 546-x)-x &1,2(1,2(1,2\cdot 546-x)-x) &1,2(1,2(1,2\cdot 546-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Т.к. в конце \(3\)-его года кредит должен быть выплачен полностью, то долг на конец \(3\)-его года составит \(0\) рублей, т.е.
\[1,2\cdot(1,2\cdot(1,2\cdot 546-x)-x)-x=0\Leftrightarrow 1,2^3\cdot 546 -x(1,2^2 +1,2+1)=0 \ (*)\]

Переплата – это та сумма, которую заплатит клиент банку сверх кредита. Т.к. каждый год клиент переводил в банк \(x\) рублей, то за \(3\) года он заплатил банку \(3x\) рублей, значит, его переплата составит \(3x-546\) рублей. Следовательно, необходимо найти \(x\) из уравнения \((*)\).

\(x=\dfrac{1,2^3\cdot 546}{1,2^2+1,2+1}=\dfrac{1,2^3\cdot 546}{3,64}\)

Домножим числитель и знаменатель дроби на \(1000\), чтобы избавиться от десятичных дробей:

\(x=\dfrac{12^3\cdot546}{3640}\)

Выполняя сокращения (для этого удобно пользоваться признаками деления), получим \(x=259,2\) тыс.рублей.

Значит, переплата равна \(3x-546=231,6\) тыс. рублей или \(231\,600\) рублей.

Пусть Руслан взял в банке \(A\) рублей, а его ежегодный платеж составил \(x\) рублей. Тогда из условия следует, что \(x=\dfrac{81}{136}A\).

Если процентная ставка в банке составляет \(y \%\), то это значит, что после начисления процентов долг увеличивается в \(\dfrac{100+y}{100}\) раз (это процент, переведенный в десятичную дробь, например \(120 \%\) – это \(1,2\)). Следовательно, например, в конце первого года долг будет равен \(\dfrac{100+y}{100}A\) рублей.

Обозначим за \(t=\dfrac{100+y}{100}\) и составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год} &\text{Сумма долга до начисления }\% &\text{После начисления }\% &\text{После платежа}\\ \hline 1 &A &t\cdot A &t\cdot A-x\\ \hline 2 &t\cdot A-x &t\cdot(t\cdot A-x) &t\cdot(t\cdot A-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Т.к. в конце \(2\)-ого года кредит должен быть выплачен полностью, то

\(t\cdot(t\cdot A-x)-x=0 \Leftrightarrow t^2A=x(t+1) \Rightarrow t^2A=\dfrac{81}{136}A \cdot (t+1)\).

Т.к. \(A>0\), то можно разделить обе части уравнения на \(A \Rightarrow\)

\(136t^2-81t-81=0 \Rightarrow t=\dfrac{9}{8}=\dfrac{100+y}{100} \Rightarrow y=12,5 \%\)

Заметим, что в данной задаче сумма кредита не играет роли (мы ее приняли за \(A\) и потом разделили на нее обе части уравнения).

Заметим, что так как ежегодные выплаты увеличились на одну и ту же сумму, то второй кредит он также выплачивал равными суммами. Следовательно, оба кредита выплачивались аннуитетными платежами. Заметим также, что так как второй кредит он взял в начале третьего года, а выплатить должен одновременно с первым, то второй кредит он выплачивал в третий и четвертый годы, то есть в течение двух лет. Составим отдельно таблицы для первого и для второго кредитов (пусть \(A\) рублей – сумма первого кредита). \[\text{Первый кредит:}\]

\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг на начало года}&\text{После начисления }\% &\text{После платежа}\\ \hline 1&A&1,1\cdot A&1,1\cdot A-x\\ \hline 2&1,1\cdot A-x&1,1(1,1\cdot A-x)&1,1(1,1\cdot A-x)-x\\ \hline 3&1,1(1,1\cdot A-x)-x&1,1(1,1(1,1\cdot A-x)-x)&1,1(1,1(1,1\cdot A-x)-x)-x\\ \hline 4&1,1(1,1(1,1\cdot A-x)-x)-x&1,1(1,1(1,1(1,1\cdot A-x)-x)-x)& 1,1(1,1(1,1(1,1\cdot A-x)-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\] где \(x\) – ежегодный платеж по первому кредиту. \[\text{Второй кредит:}\]

\[\begin{array}{|l|c|c|c|} \hline \text{Год}&\text{Долг на начало года}&\text{После начисления }\% &\text{После платежа}\\ \hline 1& \frac A4&1,1\cdot \frac A4&1,1\cdot \frac A4-y\\ \hline 2&1,1\cdot \frac A4-y&1,1(1,1\cdot \frac A4-y)&1,1(1,1\cdot \frac A4-y)-y\\ \hline \end{array}\] где \(y\) – ежегодный платеж по второму кредиту.

Общая сумма выплат по обоим кредитам – это \(4x+2y\). Следовательно, необходимо найти \(4x+2y-A-\dfrac A4\).

Из первой таблицы получаем: \[1,1(1,1(1,1(1,1\cdot A-x)-x)-x)-x=0\quad\Leftrightarrow\quad x=\dfrac{1,1^4\cdot A}{1,1^3+1,1^2+1,1+1}=\dfrac{1,1^4}{(1,1+1)(1,1^2+1)}\cdot A\] Из второй аналогично: \[1,1\left(1,1\cdot \frac A4-y\right)-y=0\quad\Leftrightarrow\quad y=\dfrac{1,1^2}{1,1+1}\cdot \dfrac A4\]

Таким образом, \[4x+2y-A-\dfrac A4=\dfrac{1,1^2\cdot A}{1,1+1}\cdot \left(\dfrac{4\cdot 1,1^2}{1,1^2+1}+\dfrac12\right)-\dfrac {5A}4= \dfrac{11^2\cdot 1189}{21\cdot 20\cdot 221}\cdot 4\,641\,000 - \dfrac{4\,641\,000\cdot 5}4\]

Заметим, что \(21\cdot 221=4641\), следовательно: \[4x+2y-\dfrac{5A}4=\dfrac{11^2\cdot 1189\cdot 1000}{20}-\dfrac{4\,641\,000\cdot 5}4= 1\,392\,200.\]

Пусть Артур взял в кредит \(A\) тыс.рублей и \(x\) тыс.рублей — его ежегодный платеж. Составим таблицу, заметив, что \(1,125=\frac98\):

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\ \hline 1&\frac98A&\frac98A-x\\ \hline 2&\left(\frac98\right)^2A-\frac98x&\left(\frac98\right)^2A-\frac98x-x\\ \hline 3&\left(\frac98\right)^3A-\left(\frac98\right)^2x-\frac98x& \left(\frac98\right)^3A-\left(\frac98\right)^2x-\frac98x-x\\ \hline 4& \left(\frac98\right)^4A-\left(\frac98\right)^3x-\left(\frac98\right)^2x-\frac98x&\left(\frac98\right)^4A-\left(\frac98\right)^3x-\left(\frac98\right)^2x-\frac98x-x\\ \hline \end{array}\]

Таким образом, имеем следующее уравнение

\[\left(\frac98\right)^4A-\left(\frac98\right)^3x-\left(\frac98\right)^2x-\frac98x-x=0 \quad \Leftrightarrow \quad \left(\frac98\right)^4A=x\left(\left(\frac98\right)^3+\left(\frac98\right)^2+\frac98+1\right)\]

Т.к. всего банку он заплатил \(4x\) рублей, то переплата равна \(4x-A=6\,524\), откуда \(x=\frac14\left(A+6\,524\right)\). Подставим это в уравнение:

\[\left(\frac98\right)^4A=\dfrac14\left(A+6\,524\right)\left(\left(\frac98\right)^3+\left(\frac98\right)^2+\frac98+1\right)\]

откуда выражаем, что

\[A=\dfrac{2\cdot 6524\cdot \left(\dfrac{9^4}{8^4}-1\right)}{2-\dfrac{9^4}{8^4}}= \dfrac{2\cdot 6524\cdot (9^4-8^4)}{2\cdot 8^4-9^4}\]

Найдем \(9^4-8^4\):

\(9^4-8^4=(9-8)(9+8)(9^2+8^2)=17\cdot 145\).

Тогда, учитывая известное \(2^{10}=1024\), имеем: \(2\cdot 8^4-9^4=8^4-(9^4-8^4)=2^{12}-17\cdot 145=4096-2465=1631\).

Значит,

\[A=\dfrac{2\cdot 1631\cdot 4\cdot 2465}{1631}=19720 \text{ тыс.рублей}\]

Значит, вся квартира стоила \(19\,720+5\,280=25\,000\) тыс.рублей. Тогда процент денег, которых ему не хватало (то есть которые он взял в кредит), от стоимости квартиры составляет

\[\dfrac{19\,720}{25\,000}\cdot 100\%=\dfrac{1972\cdot 4}{2500\cdot 4}\cdot 100\%= \dfrac{7888}{100}\%=78,88\%\]

Пусть \(A\) и \(x\) — суммы кредита и ежегодного платежа соответственно, а \(t=\frac{100+y}{100}\). Составим таблицу:

\[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Номер года}&\text{Долг после начисления }\%&\text{Долг после платежа}\\ \hline 1&tA&tA-x\\ \hline 2&t(tA-x)&t(tA-x)-x\\ \hline 3&t(t(tA-x)-x)&t(t(tA-x)-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Таким образом,

\[t(t(tA-x)-x)-x=0 \quad \Leftrightarrow \quad \dfrac xA=\dfrac{t^3}{t^2+t+1}=\dfrac{27}{38}\]

Откуда получается уравнение \(38t^3-27t^2-27t-27=0\).

Известно, что \(y\) — целое кратное десяти число, то есть \(10; \ 20; \ 30; \dots\).

Тогда \(t=1,1; \ 1,2; \ 1,3; \dots\) или в рациональном виде \[t=\dfrac{11}{10}; \ \dfrac65; \ \dfrac{13}{10}; \ \dfrac75; \ \dfrac32; \ \dfrac85; \ \dfrac{17}{10}; \ \dfrac95; \ \dfrac{19}{10} \text{ и т.д.}\]

Если уравнение имеет рациональный корень, то числитель этого корня является делителем свободного члена, то есть \(-27\), а знаменатель — делителем старшего коэффициента, то есть \(38\). Таким образом, первый подходящий корень из нашего списка — это \(\frac32\). Проверим:

\[38\cdot \left(\dfrac32\right)^3-27\left(\left(\dfrac32\right)^2+\dfrac32+1\right)=0 \quad \Leftrightarrow \quad 0=0\]

Таким образом, \(t=\dfrac32\) и \(y=50\%\).

Введем обозначение: \(\dfrac{100+y}{100}=t, A\) – сумма кредита, \(x\) – ежегодный платеж. Составим таблицу: \[\begin{array}{|l|c|c|} \hline \text{Год} & \text{сумма долга до начисления } \% & \text{сумма долга после начисления } \% \text{ и платежа}\\ \hline 1 & A & t\cdot A-x\\ \hline 2 & t\cdot A -x & t\cdot (t\cdot A-x)-x\\ \hline \end{array}\]

Т.к. в конце второго года он выплатил кредит, то \(t\cdot (t\cdot A-x)-x=0 \ (*)\).

Заметим, что за два года он заплатил банку \(2x\) рублей, значит, его переплата по кредиту составила \(2x-A\) рублей. Т.к. переплата не должна превышать ежегодный платеж, то имеем следующее неравенство:
\(2x-A \leq x \Rightarrow x-A \leq 0\).
Выразим из \((*)\) ежегодный платеж: \(x=\dfrac{t^2A}{t+1}\) и подставим в неравенство:

\(A\cdot \dfrac{t^2-t-1}{t+1} \leq 0 \Rightarrow \dfrac{t^2-t-1}{t+1} \leq 0\), т.к. \(A>0\).

Решив данное неравенство методом интервалов, получим: \(0 \leq t \leq \dfrac{1+\sqrt5}{2}\) (т.к. \(t\) не может быть отрицательным).

Сделав обратную замену \(\dfrac{100+y}{100}=t\), получим: \(y \leq 50\cdot(\sqrt5-1)\).

Для того, чтобы найти наибольшее целое \(y\), необходимо оценить \(50\cdot(\sqrt5-1)\).

\(223<\sqrt{50000}<224 \Rightarrow \\ 223<100\sqrt5<224 \Rightarrow \\ 2,23<\sqrt5<2,24 \Rightarrow \\ 61,5<50\cdot(\sqrt5-1)<62\).
Таким образом, наибольшее целое \(y=61\).