Задачи на проценты
\(\blacktriangleright\) Чтобы найти, сколько процентов составляет число \(A\) от числа \(B\), нужно найти \({\large{\dfrac{A}{B}\cdot 100 \%}}\).
\(\blacktriangleright\) Чтобы найти, на сколько процентов число \(A\) больше (меньше) числа \(B\), нужно найти, сколько процентов составляет число \(A\) от числа \(B\), а затем из этого количества процентов отнять \(100\%\) (из \(100\%\) отнять найденное количество процентов).
Заметим, что складывать проценты можно только в том случае, если они взяты от одной и той же величины!
Пример:
В \(2015\) году население составляло \(115\%\) по сравнению с предыдущим годом, а в \(2016\) – \(110\%\) по сравнению с предыдущим. Сколько процентов составило население в \(2016\) году по сравнению с \(2014\) годом?
Т.к. в \(2015\) году задан процент относительно \(2014\), а в \(2016\) – относительно \(2015\), то нельзя сказать, что в \(2016\) году население составило \(115\%+110\%\).
Решим задачу правильно. Пусть \(x\) – количество людей в \(2014\) году.
в \(2015\): \(1,15x\) человек
в \(2016\): \(1,1\cdot(1,15x)=1,265x\).
Т.е. население в \(2016\) составило \(126,5\%\) по сравнению с \(2014\) годом.
В государстве \(\pi\) в 2012 году ЕГЭ по математике не сдали 20000 выпускников. В 2013 году число не сдавших уменьшилось на 5\(\%\), а в 2014 году – увеличилось на 17\(\%\) по сравнению с 2013 годом. Сколько выпускников не сдали ЕГЭ по математике в 2014 году в государстве \(\pi\)?
В 2013 году число не сдавших составило \(100\%-5\%=95\%\) от числа не сдавших в 2012 году, тогда в 2013 году не сдали ЕГЭ по математике \[20000 \cdot \dfrac{95}{100} = 19000 \ \text{выпускников}.\] В 2014 году число не сдавших составило \(100\%+17\%=117\%\) от числа не сдавших в 2013 году, тогда в 2014 не сдали ЕГЭ по математике \[19000 \cdot \dfrac{117}{100} = 22230\ \text{выпускника}.\]
В государстве \(\nabla\) в 2014 году ЕГЭ по физике не сдали 1500 выпускников. В 2015 году число не сдавших выросло на 10\(\%\), а в 2016 году – увеличилось на 34\(\%\) по сравнению с 2015 годом. Сколько выпускников не сдали ЕГЭ по физике в 2016 году в государстве \(\nabla\)?
В 2015 году число не сдавших составило \(100\%+10\%=110\%\) от числа не сдавших в 2014 году, тогда в 2015 году не сдали ЕГЭ по физике \[1500 \cdot \dfrac{110}{100} = 1650\ \text{выпускников}.\] В 2016 году число не сдавших составило \(100\%+34\%=134\%\) от числа не сдавших в 2015 году, тогда в 2016 не сдали ЕГЭ по физике \[1650 \cdot \dfrac{134}{100} = 2211\ \text{выпускников}.\]
Три шоколадных батончика дороже шоколадки на \(11\%\). На сколько процентов четыре батончика дороже шоколадки?
Пусть \(b\) – цена батончика,
пусть \(s\) – цена шоколадки, тогда
\(\dfrac{111}{100}\cdot s = 3b\), откуда находим \(b = \dfrac{37}{100}s\), значит, \(4b = \dfrac{148}{100}s = s\left(1 + \dfrac{48}{100}\right)\),
то есть четыре батончика дороже шоколадки на \(48\%\).
Два шоколадных батончика дешевле пирожного на \(10\%\). На сколько процентов три батончика дороже пирожного?
Пусть \(b\) – цена батончика,
пусть \(p\) – цена пирожного, тогда
\(\dfrac{90}{100}\cdot p = 2b\), откуда находим \(b = \dfrac{45}{100}p\), значит, \(3b = \dfrac{135}{100}p = p\left(1 + \dfrac{35}{100}\right)\),
то есть три батончика дороже пирожного на \(35\%\).
Два квадрокоптера дешевле 3-D принтера на \(70\%\). На сколько процентов пять квадрокоптеров дешевле 3-D принтера?
Пусть \(k\) – цена квадрокоптера,
пусть \(p\) – цена 3-D принтера, тогда
\[p(1 - 0,7) = 2k,\] откуда находим \(k = 0,15p\), значит, \[5k = 0,75p = p(1 - 0,25),\] то есть пять квадрокоптеров дешевле 3-D принтера на \(25\%\).
Кофта во вторник подорожала на \(25\%\). На сколько процентов она должна была подешеветь в среду (относительно цены вторника), чтобы её цена стала первоначальной (как до повышения во вторник).
Пусть до вторника цена кофты была \(R\) рублей, \(R > 0\), тогда во вторник она стала \(1,25R\) рублей. Пусть в среду цена кофты уменьшилась на \(x\%\), тогда \[1,25R\cdot \left(1 - \dfrac{x}{100}\right) = R\quad\Leftrightarrow\quad x = 20\,,\] то есть кофта должна была подешеветь на \(20\%\).
В среду молоко подорожало на \(x\) процентов, а в четверг подешевело на \(x\) процентов. В результате молоко стало стоить на \(1\%\) дешевле, чем стоило во вторник (до подорожания). На сколько процентов дешевле стало бы молоко по сравнению со вторником, если бы оно сначала в среду подешевело на \(x\) процентов, а в четверг подорожало на \(x\) процентов?
Пусть молоко стоило во вторник \(S\) рублей.
После подорожания в среду молоко стало стоить \[\dfrac{100 + x}{100}\cdot S,\] после подешевения в четверг молоко стало стоить \[\dfrac{100 - x}{100}\cdot\left(\dfrac{100 + x}{100}\cdot S\right).\]
Если бы молоко сначала в среду подешевело на то же самое число процентов, а в четверг подорожало, то по аналогии оно стало бы стоить \[\dfrac{100 + x}{100}\cdot\left(\dfrac{100 - x}{100}\cdot S\right),\] то есть столько же, сколько оно стало стоить в первом сценарии. Значит, при втором сценарии оно стало бы дешевле тоже на \(1\%\).
