Задачи на движение по воде
Верны те же формулы: \[{\large{S=v\cdot t \quad \quad \quad v=\dfrac
St \quad \quad \quad
t=\dfrac Sv}}\]
\(\blacktriangleright\) Если тело движется по реке по течению:
\(v_c\) — собственная скорость тела (скорость в неподвижной воде);
\(v_t\) — скорость течения;
тогда скорость движения тела \(v=v_c+v_t\).
Значит, \[{\large{S=(v_c+v_t)\cdot t}}\]
\(\blacktriangleright\) Если тело движется по реке против течения:
\(v_c\) — собственная скорость тела (скорость в неподвижной воде);
\(v_t\) — скорость течения;
тогда скорость движения тела \(v=v_c-v_t\).
Значит, \[{\large{S=(v_c-v_t)\cdot t}}\]
\(\blacktriangleright\) Заметим, что плот — это тело, у которого собственная скорость \(v_c=0\). Значит, плот может плыть только по течению и со скоростью течения.
Антон знает, что собственная скорость его лодки равна \(10\, км/ч\). При этом ему надо успеть проплыть \(25\, км\) за \(2\) часа. Плыть он будет по течению. Какой должна быть скорость течения реки, чтобы Антон успел? Ответ дайте в км/ч. Если в задаче может быть более одного ответа – выберите наименьший.
Чтобы Антон успел, необходимо и достаточно, чтобы его лодка перемещалась со скоростью не меньше, чем \(25 : 2 = 12,5\, км/ч\). То есть для того, чтобы Антон успел, необходимо и достаточно, чтобы скорость течения была не меньше, чем \(2,5\, км/ч\).
Лодка прошла \(10\, км\) по течению, а затем \(5\, км\) против течения. На весь путь лодка затратила \(3\, часа\). Найдите среднюю скорость лодки на описанном участке пути, если скорость течения равна \(2\, км/ч\). Ответ дайте в км/ч.
Средняя скорость есть отношение всего пути ко времени, затраченному на этот путь. Независимо от скорости течения, средняя скорость лодки:\[v_{ср} = \dfrac{10 + 5}{3} = 5\, км/ч\,.\]
Катер береговой охраны прошёл по течению реки Конго 120 км и вернулся обратно. Известно, что обратный путь занял на 1 час больше времени, а скорость катера в неподвижной воде равна 27 км/ч. Найдите скорость течения. Ответ дайте в км/ч.
Пусть \(v\) км/ч – скорость течения, \(v > 0\), тогда
\(27 + v\) – скорость перемещения катера по течению,
\(27 - v\) – скорость перемещения катера против течения,
\(\dfrac{120}{27 + v}\) – время, затраченное катером на перемещение по течению,
\(\dfrac{120}{27 - v}\) – время, затраченное катером на перемещение против течения.
Так как время перемещения против течения на час больше, чем время по течению, то: \[\dfrac{120}{27 + v} + 1 = \dfrac{120}{27 - v}\qquad\Leftrightarrow\qquad v^2 + 240 v - 729 = 0\] – при \(v \neq \pm 27\), что равносильно \(v_1 = 3, v_2 = -243\), откуда получаем, что \(v = 3\) км/ч, так как \(v > 0\).
Катер прошел 40 км по течению реки и 6 км против течения реки, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость катера в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч.
Пусть \(x\) км/ч – скорость катера в стоячей воде. Тогда можно составить следующее уравнение: \[\dfrac{40}{x+2}+\dfrac 6{x-2}=3 \quad\Rightarrow\quad \dfrac{46x-68}{x^2-4}=3 \quad\Rightarrow\quad 3x^2-46x+56=0\] Дискриминант равен \(D=4\cdot 361=(38)^2\), следовательно, корнями будут \(x_1=\dfrac43\) и \(x_2=14\). Так как скорость катера не может быть меньше скорости течения, то \(x_1\) не подходит. Следовательно, \(x=14\).
Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна \(24\) км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна \(3\) км/ч, стоянка длится \(2\) часа, а в исходный пункт теплоход возвращается через \(34\) часа после отправления из него. Сколько километров прошёл теплоход за весь рейс?
Пусть \(S\) – расстояние в километрах, которое проходит теплоход, двигаясь в одну сторону. Тогда: \[\dfrac S{24+3}+\dfrac S{24-3}+2=34\quad\Leftrightarrow\quad S=378\] Тогда за весь рейс теплоход прошел \(2S=2\cdot 378=756\) километров.
От пристани A в направлении пристани В с постоянной скоростью отправился первый теплоход. Через час после этого от пристани В в направлении пристани А отправился второй теплоход, причём скорость второго теплохода на 1 км/ч меньше, чем скорость первого. При этом скорость течения составляет 2 км/ч. Найдите скорость первого теплохода в неподвижной воде, если расстояние от А до В равно 120 км, а встретились теплоходы посередине между пристанями А и В. Ответ дайте в км/ч.
Так как теплоходы встретились посередине, а время, затраченное на это теплоходом с меньшей скоростью в неподвижной воде, меньше, чем время теплохода с большей скоростью в неподвижной воде, то теплоход с большей скоростью в неподвижной воде плыл против течения, то есть течение направлено от В к А.
Пусть \(v\) км/ч – скорость первого теплохода в неподвижной воде, \(v > 0\), тогда
\(v - 2\) км/ч – скорость перемещения первого теплохода,
\((v - 1) + 2\) км/ч – скорость перемещения второго теплохода,
\(\dfrac{60}{v - 2}\) ч – время, затраченное первым теплоходом,
\(\dfrac{60}{v + 1}\) ч – время, затраченное вторым теплоходом.
Так как время, затраченное первым теплоходом, на час больше, то: \[\dfrac{60}{v - 2} - \dfrac{60}{v + 1} = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad v^2 - v - 182 = 0\] – при \(v \neq 2, v \neq -1\), откуда находим \(v_1 = 14, v_2 = -13\), значит, \(v = 14\) км/ч (т.к. \(v > 0\)).
На озере расположены пристани А и В. Расстояние между пристанями равно 90 км. Моторная лодка проплыла от А до В с постоянной скоростью, после чего сразу отправилась обратно со скоростью на 5 км/ч больше прежней. На середине пути из В в А лодка замедлилась и поплыла со скоростью на 2,5 км/ч меньшей, чем по дороге из А в В. В результате лодка затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость лодки на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.
Пусть \(v\) км/ч – скорость лодки по пути от А до В, тогда
\(\dfrac{90}{v}\) ч – время, затраченное лодкой на путь из А в В,
\(\dfrac{45}{v + 5}\) ч – время, затраченное лодкой на первую половину пути из В в А,
\(\dfrac{45}{v - 2,5}\) – время, затраченное лодкой на вторую половину пути из В в А.
Так как в итоге лодка проплыла из В в А за такое же время, как и из А в В, то: \[\dfrac{90}{v} = \dfrac{45}{v + 5} + \dfrac{45}{v - 2,5},\] откуда \(v = 10\) км/ч.
