Задачи на движение по воде (страница 2)
Верны те же формулы: \[{\large{S=v\cdot t \quad \quad \quad v=\dfrac
St \quad \quad \quad
t=\dfrac Sv}}\]
\(\blacktriangleright\) Если тело движется по реке по течению:
\(v_c\) — собственная скорость тела (скорость в неподвижной воде);
\(v_t\) — скорость течения;
тогда скорость движения тела \(v=v_c+v_t\).
Значит, \[{\large{S=(v_c+v_t)\cdot t}}\]
\(\blacktriangleright\) Если тело движется по реке против течения:
\(v_c\) — собственная скорость тела (скорость в неподвижной воде);
\(v_t\) — скорость течения;
тогда скорость движения тела \(v=v_c-v_t\).
Значит, \[{\large{S=(v_c-v_t)\cdot t}}\]
\(\blacktriangleright\) Заметим, что плот — это тело, у которого собственная скорость \(v_c=0\). Значит, плот может плыть только по течению и со скоростью течения.
Теплоход с туристами плыл из города А в город В. Его скорость в неподвижной воде была 12 км/ч. В городе В он сделал остановку продолжительностью 5 часов, после чего поплыл обратно в А. Скорость течения составляла 2 км/ч. В город А теплоход вернулся через 29 часов после отплытия из него. Найдите расстояние между А и В. Ответ дайте в километрах.
Пусть \(S\) км – расстояние, которое проплыл теплоход по пути из А в В, тогда
\(\dfrac{S}{12 + 2}\) часов – время, которое теплоход плыл по течению,
\(\dfrac{S}{12 - 2}\) часов – время, которое теплоход плыл против течения,
плыл теплоход всего \(29 - 5 = 24\) часа, тогда:
\[\dfrac{S}{14} + \dfrac{S}{10} = 24,\] откуда находим \(S = 140\) км.
Яхта проплыла по течению реки \(144\, км\) и вернулась обратно, после чего проплыла ещё \(36\, км\) по течению реки. Известно, что время, затраченное на движение яхты по течению, равно времени, затраченному на движение яхты против течения. При этом скорость яхты в неподвижной воде равна \(18\, км/ч\). Найдите скорость течения. Ответ дайте в км/ч.
Пусть \(v_{\text{т}}\, км/ч\) – скорость течения, \(v > 0\), тогда
\(18 + v_{\text{т}}\) – скорость перемещения яхты по течению,
\(18 - v_{\text{т}}\) – скорость перемещения яхты против течения,
\(\dfrac{180}{18 + v_{\text{т}}}\) – время, затраченное яхтой на перемещение по течению,
\(\dfrac{144}{18 - v_{\text{т}}}\) – время, затраченное яхтой на перемещение против течения.
Так как время перемещения против течения совпадает со временем по течению, то: \[\dfrac{180}{18 + v_{\text{т}}} = \dfrac{144}{18 - v_{\text{т}}}\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{180(18 - v_{\text{т}}) - 144(18 + v_{\text{т}})}{(18 + v_{\text{т}})(18 - v_{\text{т}})} = 0\,,\] что при \(v_{\text{т}}\neq \pm 18\) равносильно \(v_{\text{т}} = 2\).
Моторная лодка проплыла по течению реки \(20\, км\), после чего сломалась и в течение часа её уносило течением. Спустя час после поломки лодка развернулась и поплыла в обратную сторону с изначальной собственной скоростью, равной \(13\, км/ч\). Известно, что обратный путь занял \(2 ч\). Найдите скорость течения. Ответ дайте в км/ч.
Пусть скорость течения реки равна \(v_{\text{т}}\), тогда путь лодки по течению составил \(20 + 1\cdot v_{\text{т}} = 20 + v_{\text{т}}\, км\).
Так как обратный путь занял \(2\, ч\), то \[20 + v_{\text{т}} = 2\cdot (13 - v_{\text{т}})\qquad\Leftrightarrow\qquad v_{\text{т}} = 2\, км/ч.\]
Лодка участвует в соревнованиях. Ей необходимо доплыть по реке из пункта \(А\) в пункт \(Б\) и обратно. Известно, что течение реки направлено от пункта \(А\) к пункту \(Б\). Лодка проплыла от пункта \(А\) до пункта \(Б\) за час. Сколько километров останется проплыть лодке через час после отплытия из пункта \(Б\) в пункт \(А\), если скорость течения реки равна \(2,5\, км/ч\)?
Пусть собственная скорость лодки равна \(v_{\text{л}}\, км/ч\), а скорость течения равна \(v_{\text{т}}\, км/ч\). За первый час лодка проплыла \(v_{\text{л}} + v_{\text{т}}\), а за второй час (на обратном пути) \(v_{\text{л}} - v_{\text{т}}\) в другую сторону, то есть её перемещение за первые два часа составило \[|(v_{\text{л}} + v_{\text{т}}) - (v_{\text{л}} - v_{\text{т}})| = 2v_{\text{т}}\] – в сторону течения, то есть через два часа после отплытия, лодке оставалось \(2\cdot 2,5 = 5\, км\) до финиша.
Города M и N находятся возле реки на расстоянии 60 км. Из M в N отправился катер, который прибыл в город N и сразу повернул назад. К тому времени, как катер вернулся в М, плот, который отправился из M в N на час раньше катера, проплыл 13 км. Скорость течения реки равна 2 км/ч. Найдите скорость катера в неподвижной воде. Ответ дайте в км/ч.
Плот проплыл 13 км за \(13 : 2 = 6,5\) часов. Тогда дорога из M в N и обратно заняла у катера \(6,5 - 1 = 5,5\) часов.
Пусть \(v\) км/ч – скорость катера в стоячей воде, \(v > 0\), тогда
\(\dfrac{60}{v + 2}\) часов – время, затраченное катером на дорогу из M в N, так как течение направлено из M в N (плот плывёт по течению),
\(\dfrac{60}{v - 2}\) часов – время, затраченное катером на дорогу из N в M.
Так как суммарное время, затраченное катером на дорогу из M в N и обратно, равно 5,5 часов, то: \[\dfrac{60}{v + 2} + \dfrac{60}{v - 2} = 5,5\qquad\Leftrightarrow\qquad 11v^2 - 240v - 44 = 0\] – при \(v \neq \pm 2\), откуда находим \(v_1 = 22,\ v_2 = -\dfrac{2}{11}\). Так как \(v > 0\), то ответ \(22\) км/ч.
У Игоря есть своя яхта. Плавая на яхте, он понял, что обронил шляпу и стал её искать. При этом он проплыл час против течения, затем развернулся и проплыл час по течению, затем снова развернулся и проплыл полчаса против течения, затем три четверти часа по течению, после чего проплыл ещё четверть часа против течения. Оказалось, что он сместился от места начала поисков на \(10,5\, км\). Найдите скорость течения, если собственная скорость яхты во время поисков оставалась постоянной. Ответ дайте в км/ч.
Пусть собственная скорость яхты равна \(v_{\text{я}}\, км/ч\), а скорость течения равна \(v_{\text{т}}\, км/ч\). За первый час Игорь проплыл \(v_{\text{я}} - v_{\text{т}}\), а за второй час \(v_{\text{я}} + v_{\text{т}}\) в другую сторону, то есть его перемещение за первые два часа составило \[|(v_{\text{я}} - v_{\text{т}}) - (v_{\text{я}} + v_{\text{т}})| = 2v_{\text{т}}\] – в сторону течения.
Далее Игорь плыл полчаса против течения, затем три четверти часа по течению. Разобьём эти три четверти часа по течению на два этапа: полчаса по течению и четверть часа по течению, тогда по аналогии с предыдущим рассуждением, перемещение Игоря за третий час составило \[|0,5(v_{\text{я}} - v_{\text{т}}) - 0,5(v_{\text{я}} + v_{\text{т}})| = v_{\text{т}}\] – в сторону течения.
За последние полчаса перемещение Игоря по аналогии составило \[|0,25(v_{\text{я}} + v_{\text{т}}) - 0,25(v_{\text{я}} - v_{\text{т}})| = 0,5v_{\text{т}}\] – в сторону течения.
В итоге за \(3,5\, ч\) поисков Игорь переместился на \(3,5v_{\text{т}}\) от места начала поисков, что по условию составило \(10,5\, км\), тогда \[3,5v_{\text{т}} = 10,5\qquad\Leftrightarrow\qquad v_{\text{т}} = 3\,.\]
Два теплохода в момент времени \(t = 0\, ч\) отправились по реке из пунктов \(А\) и \(Б\) навстречу друг другу. Скорость течения реки при \(t\in[0; 5]\) составляла \(2\, км/ч\), а при \(t\in (5; 10]\) составляла \(|\sin (t - 5) - 2\cos (t - 5)|\). Известно, что собственная скорость одного из теплоходов равна \(20\, км/ч\), а собственная скорость другого теплохода – \(22\, км/ч\). Кроме того, расстояние между пунктами \(А\) и \(Б\) равно \(357\, км\), а теплоходы встретились в момент \(t = t_0\, ч\). Найдите \(t_0\).
Время, прошедшее с момента отправления до момента встречи, равно отношению суммарного расстояния к скорости сближения.
Независимо от того, какой была скорость течения, куда оно было направлено, у какого из теплоходов скорость была \(22\, км/ч\), скорость сближения теплоходов всё равно будет \(20 + 22 = 42\, км/ч\). Таким образом, \[t_0 = \dfrac{357}{42} = 8,5\,.\]
