Сюжетные текстовые задачи (страница 2)

Скорости пешком, на такси и на лодке соответственно равны \[5\, км/ч,\qquad 30\, км/ч,\qquad 10\, км/ч\] Их среднее арифметическое равно \(\dfrac{5 + 30 + 10}{3} = 15\, км/ч\).

Средняя скорость путника равна \[\dfrac{10 + 15 + 10}{2 + 0,5 + 1} = \dfrac{35}{3,5} = 10\, км/ч\,,\] тогда искомая величина равна \[15 : 10 = 1,5\,.\]

По определению средняя скорость – это отношение всего пути ко времени, затраченному на весь путь.

Весь путь лыжника составил \(2 + 1 + 2 = 5\) км.

Время, которое лыжник потратил на этот путь, равно \[2 : 20 + 1 : 10 + 2 : 15 = \dfrac{1}{3}\ \text{ч}.\] Тогда средняя скорость лыжника равна \[5 : \dfrac{1}{3} = 15\ \text{км/ч}.\]

Изобразим в виде схемы движение велосипедиста:

Время в часах, которое он затратил на дорогу из A в B, равно \[t_{AB}=\dfrac{117}x\] Время в часах, которое он затратил на дорогу из В в А, учитывая остановку, равно \[t_{BA}=4+\dfrac{117}{x+4}\] Так как \(t_{AB}=t_{BA}\), то получаем уравнение: \[\dfrac{117}x=4+\dfrac{117}{x+4}\] Домножим обе части уравнения на \(x(x+4)\), так как \(x\ne 0, \ x+4\ne 0\) – скорости. \[117(x+4)=4x(x+4)+117x \quad\Leftrightarrow\quad 117x+117\cdot 4=4(x^2+4x)+117x \quad\Leftrightarrow\quad 4(x^2+4x)-117\cdot 4=0 \quad\Leftrightarrow\quad x^2+4x-117=0\] Дискриминант \(D=4^2+117\cdot 4=4(4+117)=4\cdot 121=(2\cdot 11)^2\), следовательно, корни уравнения \(x_1=-13\) и \(x_2=9.\) Так как скорость не может быть отрицательной, то \(x=9\). Тогда скорость велосипедиста на пути из В в А равна \(x+4=13\).

Пусть \(v\) км/ч – стартовая скорость велосипедистов.

Тогда время, которое потратил на путь второй велосипедист, равно \[\dfrac{30}{v},\] время, которое потратил на первую треть пути первый велосипедист, равно \[\dfrac{\frac{1}{3}\cdot30}{v},\] а время, которое потратил на оставшуюся часть пути первый велосипедист, равно \[\dfrac{\frac{2}{3} \cdot 30}{2v}.\]

Так как первый прибыл в пункт D на час раньше, то:

\[\dfrac{\frac{1}{3}\cdot30}{v} + \dfrac{\frac{2}{3} \cdot 30}{2v} = \dfrac{30}{v} - 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{10}{v} + \dfrac{10}{v} = \dfrac{30}{v} - \dfrac{v}{v} \qquad\Leftrightarrow\qquad 20 = 30 - v\] – при \(v \neq 0\), откуда находим \(v = 10\) км/ч.

Пусть \(t\, мин\) – время, которое лыжник должен был потратить на те самые несколько километров, которые он ехал быстрее, чем планировал. Тогда время, на самом деле затраченное лыжником, есть \[t\cdot\dfrac{1}{2} + (20 - t)\cdot 2 = 34\qquad\Leftrightarrow\qquad t = 4\,,\] следовательно, на те самые несколько километров, которые он ехал быстрее, лыжник должен был потратить \(\dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5}\) часть всего времени. Так как скорость лыжника должна была быть постоянной, то расстояние, которое он ехал быстрее, равно \[10\cdot\dfrac{1}{5} = 2\, км\,.\]

Первый способ:

Первый кот за час убегает от второго на \(0,5\) км = \(500\) метров, тогда на \(100 = 500 : 5\) метров он убегает от второго кота за \(60 : 5 = 12\) минут. На 200 метров первый кот обгонит второго за \(12 \cdot 2 = 24\) минуты.

Второй способ:

Пусть \(v\) км/ч – скорость второго кота, тогда
\(v + 0,5\) км/ч – скорость первого кота.
Пусть \(t\) ч – время, через которое первый кот обгонит второго на \(200\) м = \(0,2\) км.
\(v\cdot t\) км – расстояние, которое второй кот пробежит за \(t\) часов,
\((v + 0,5)\cdot t\) км – расстояние, которое первый кот пробежит за \(t\) часов, тогда
за \(t\) часов первый кот пробежит больше второго на \((v + 0,5)\cdot t - v\cdot t\) км, откуда
\[(v + 0,5)\cdot t - v\cdot t = 0,2\qquad\Leftrightarrow\qquad v\cdot t + 0,5t - v\cdot t = 0,2,\] откуда \(t = 0,4\) ч, то есть через \(60 \cdot 0,4 = 24\) минуты расстояние между котами станет равным 200 метрам.

По определению средняя скорость – это отношение всего пути ко времени, затраченному на весь путь. Весь путь Евгения составляет \(20 + 500 + 500 + 600 = 1620\) км.

Время, которое Евгений потратил на этот путь, равно \(20 : 4 + 500 : 100 + 500 : 125 + 600 : 100 = 20\) ч. Тогда средняя скорость Евгения равна \(1620 : 20 = 81\) км/ч.