Сюжетные задачи повышенного уровня сложности
\(\blacktriangleright\) Арифметическая прогрессия \(\{a_1,a_2,\dots\}\)– последовательность чисел, где каждое число, начиная со второго, получается путем добавления к предыдущему числу одного и того же числа \(d\), называемого разностью прогрессии. \[{\large{a_n-a_{n-1}=d}}\] Справедливы следующие формулы:
\({\large{a_n=a_1+(n-1)d}}\)
\({\large{\dfrac{a_{n-1}+a_{n+1}}2=a_n}}\) (каждый элемент равен среднему арифметическому двух соседних)
Пример: \(1, -2, -5, -8, \dots\) – арифметическая прогрессия с разностью \(d=-3\).
Сумма первых \(n\) элементов арифметической прогрессии \[{\large{S_n=\dfrac{a_1+a_n}2\cdot n}}\]
\(\blacktriangleright\) Геометрическая прогрессия \(\{b_1, b_2, \dots\}\) – последовательность чисел, где каждое число, начиная со второго, получается путем умножения предыдущего числа на одно и то же число \(q\), называемое знаменателем прогрессии. \[{\large{b_n=b_{n-1}\cdot q}}\] Справедливы следующие формулы:
\({\large{b_n=b_1\cdot q^{n-1}}}\)
\({\large{\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}=b_n}}\) (каждый элемент равен среднему геометрическому двух соседних)
Пример: \(2, 1, \dfrac12, \dfrac14, \dots\) – геометрическая прогрессия со знаменателем \(q=\dfrac12\).
Сумма первых \(n\) элементов геометрической прогрессии \[{\large{S_n=\dfrac{1-q^n}{1-q}\cdot b_1, \quad q\ne 1}}\]
Маша и Даша читают один и тот же роман. Маша за час прочитывает 20 страниц, а Даша – 21. Они одновременно начали читать роман, и Маша закончила читать позже Даши на 10 минут. Сколько страниц в романе?
Пусть за \(t\) часов Даша прочитала роман, тогда
Маша прочитала роман за \(t + \dfrac{1}{6}\) часов.
Так как количества страниц, прочитанные ими, одинаковы, то:
\[21t = 20\left(t + \dfrac{1}{6}\right) \qquad\Leftrightarrow\qquad t = \dfrac{10}{3}\ \text{часа},\] значит, в романе \(21 \cdot \dfrac{10}{3} = 70\) страниц.
Николай прорешал сборник задач, в котором было 1260 задач, ежемесячно увеличивая количество задач на одно и то же число по сравнению с предыдущим месяцем. За первый и последний месяц в сумме Николай прорешал 210 задач. Сколько месяцев Николай прорешивал сборник?
Последовательность количеств задач, решённых за первый, второй и т.д. месяцы соответственно, представляет собой арифметическую прогрессию, сумма элементов которой равна 1260, а сумма первого и последнего элементов равна 210.
Формула для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\[S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}n,\] где \(a_1, \ a_n\) – первый и \(n\)-ый члены арифметической прогрессии соответственно. При этом по условию \(a_1 + a_n = 210\), а \(S_n = 1260\), откуда находим \(n = 12\).
У Ильи дома есть часы со стрелками. Илья уходит на работу в 8 часов 00 минут утра. Домой Илья возвращается в 5 часов 30 минут вечера. Сколько раз за время отсутствия Ильи часовая и минутная стрелки успевают поравняться?
Начиная с 8 часов утра каждый час стрелки успевают поравняться ровно один раз, кроме часа с 12 до 13 часов.
При этом за время с 17 часов до 17 часов 30 минут стрелки успевают поравняться ещё один раз. Итого: \((17 - 8) - 1 + 1 = 9\) раз.
Света ловит бабочек. Каждый день она ловит на одно и то же количество бабочек больше по сравнению с предыдущим днём. В первый день она поймала одну бабочку, а за 15 дней в сумме она поймала 120 бабочек. Сколько бабочек поймала Света в восьмой день?
Последовательность количеств бабочек, пойманных за первый, второй и т.д. дни соответственно, представляет собой арифметическую прогрессию, сумма первых 15 элементов которой равна 120.
Формула для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\[S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}n,\] где \(a_1, \ a_n\) – первый и \(n\)-ый члены арифметической прогрессии соответственно. При этом по условию \(n = 15, \ S_{15} = 120\), откуда находим \(a_1 + a_{15} = 16\).
Так как в первый день Света поймала 1 бабочку, то \(a_1 = 1\), следовательно, \(a_{15} = 15\).
При этом \(a_{15} = 14d + a_1\), где \(d\) – разница в количествах бабочек, пойманных Светой во второй и первый дни, откуда находим \(d = 1\). В восьмой день она поймала \(1 + 7\cdot 1 = 8\) бабочек.
Степан за несколько дней отжался в сумме 330 раз, ежедневно увеличивая количество отжиманий на одно и то же число штук. В первый и последний день в сумме Степан отжался 60 раз. За сколько дней Степан отжался в сумме 330 раз?
Последовательность количеств отжиманий, сделанных Степаном за первый, второй и т.д. дни соответственно, представляет собой арифметическую прогрессию, сумма элементов которой равна 330, а сумма первого и последнего элементов равна 60.
Формула для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\[S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}n,\] где \(a_1, \ a_n\) – первый и \(n\)-ый члены арифметической прогрессии соответственно. При этом по условию \(a_1 + a_n = 60\), а \(S_n = 330\), откуда находим \(n = 11\).
Художник каждый день пишет на 2 портрета больше, чем в предыдущий день. Известно, что за 10 дней он написал 100 портретов. Сколько портретов он написал в первый день?
Последовательность количеств портретов, написанных за первый, второй и т.д. дни соответственно, представляет собой арифметическую прогрессию, сумма первых 10 элементов которой равна 100.
Формула для суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:
\[S_n = \dfrac{a_1 + a_n}{2}n,\] где \(a_1, \ a_n\) – первый и \(n\)-ый члены арифметической прогрессии соответственно. При этом по условию \(n = 10, \ S_{10} = 100\), откуда находим \(a_1 + a_{10} = 20\).
Кроме того, известно, что каждый день художник пишет на 2 портрета больше, чем в предыдущий день, тогда \(a_1 + a_{10} = 2a_1 + 9\cdot 2 = 20\), значит, \(a_1 = 1\).
Поезд едет с постоянной скоростью 60 км/ч. Он проезжает мимо столба за 45 секунд. За сколько секунд он полностью переедет мост длиной 1500 метров?
За 45 секунд поезд проезжает 750 метров, значит длина поезда и есть 750 метров (когда поезд проезжает мимо столба, изначально расстояние от последнего вагона до столба равно длине поезда, а в конце последний вагон проезжает мимо столба, значит, он перемещается на расстояние, равное длине поезда).
Чтобы полностью переехать мост длиной 1500 метров поезду длиной 750 метров понадобится \(45 \cdot 3 = 135\) секунд. Действительно, через 45 секунд после начала переезда первый вагон поезда окажется на середине моста.
Ещё через 45 секунд первый вагон начнёт покидать мост, а ещё через 45 секунд последний вагон покинет мост.
