Исследование уравнений/неравенств при всех значениях параметра (страница 3)

Из условия следует, что множество решений первого неравенства должно содержаться во множестве решений второго неравенства. Решим оба неравенства: \(x<4-2a\) и \(x<\frac{a-3}2\). Чтобы луч \((-\infty; 4-2a)\) содержался в луче \(\left(-\infty; \frac{a-3}2\right)\), нужно, чтобы \[4-2a\leqslant \dfrac{a-3}2\quad\Rightarrow\quad a\geqslant \dfrac{11}5\]

Мы имеем уравнение и неравенство линейного типа.

Для данного уравнения при \(2a^2-a-1=0\) решениями будут либо \(x\in \varnothing\), либо \(x\in\mathbb{R}\) (нужно проверить), при \(2a^2-a-1\ne 0\) решением будет одна точка (а именно, \(x=\frac{5a-5}{2a^2-a-1}\)).

Для данного неравенства при \(6a^2+a-1=0\) решениями будут либо \(x\in \varnothing\), либо \(x\in\mathbb{R}\) (нужно проверить), при \(6a^2+a-1\ne 0\) решением будет некоторый луч (либо от \(-\infty\) до числа, либо от числа до \(+\infty\)).

Итак, мы разобрали типы ответов, которые мы можем получить, решая уравнение и неравенство. Таким образом, единственная ситуация, когда решение уравнения и решение неравенства могут совпасть, это если решениями будут \(x\in \varnothing\) либо \(x\in\mathbb{R}\), то есть как минимум при \(2a^2-a-1=0\) и \(6a^2+a-1=0\).

Решением уравнения \(2a^2-a-1=0\) будут \(a=-0,5; 1\), решением уравнения \(6a^2+a-1=0\) будут \(a=-0,5; \frac13\). Следовательно, одновременное выполнение этих двух условий возможно при \(a=-0,5\).

При \(a=-0,5\) уравнение примет вид \(0\cdot x=-7,5\) (решениями этого уравнения будут \(x\in \varnothing\)), неравенство примет вид \(0\cdot x\geqslant 0,5\) (это неравенство также не имеет решений, то есть \(x\in\varnothing\)). Следовательно, действительно, при \(a=-0,5\) решения уравнения и неравенства совпадают.

Нужно определить, при каких \(a\) данное уравнение не имеет решений, имеет одно решение, два решения и т.д., и какие.
Данное уравнение квадратного типа при всех \(a\) таких, что \(2a-1\ne 0\) (ведь по определению уравнение \(Ax^2+Bx+C=0\) квадратное, если \(A\ne 0\)). Следовательно, нам нужно рассмотреть два случая, в каждом из которых мы определенным образом будем решать уравнение.

1) Пусть \(2a-1=0\), то есть \(a=0,5\). Тогда уравнение принимает вид \(1,5x+1,5=0\). Решением данного уравнения будет \(x=-1\). Следовательно, при \(a=0,5\) уравнение имеет единственное решение \(x=-1\).

2) Пусть \(2a-1\ne 0\), то есть \(a\ne 0,5\). Тогда уравнение квадратное. Квадратное уравнение может иметь 0, 1 или 2 корня в зависимости от дискриминанта (меньше 0, равен 0 или больше 0 соответственно).
Найдем дискриминант: \(D=(3a)^2-4(2a-1)(5a-1)=-31a^2+28a-4\).

I. Итак, если \(D<0\), то уравнение не имеет решений: \[-31a^2+28a-4<0\quad\Rightarrow\quad 31\left(a-\dfrac{14+6\sqrt2}{31}\right)\left(a-\dfrac{14-6\sqrt2}{31}\right)>0\]
Решением данного неравенства будут \(a\in \left(-\infty;\frac{14-6\sqrt2}{31}\right)\cup\left(\frac{14+6\sqrt2}{31}; +\infty\right)\). При этих значениях \(a\) уравнение не имеет решений.

II. Если \(D=0\), то есть \(a=\frac{14\pm6\sqrt2}{31}\), то уравнение имеет единственный корень. Для квадратного уравнения \(Ax^2+Bx+C=0\) с \(D=0\) корень можно искать по формуле абсциссы вершины: \[x_0=\dfrac{-B}{2A}\quad\Rightarrow\quad x_0=\dfrac{-3a}{2(2a-1)}\qquad \text{(в нашем случае)}\] При \(a=\frac{14+6\sqrt2}{31}\) получаем \[x_{0}=\dfrac{-3(14+6\sqrt2)}{2(12\sqrt2-3)}\] При \(a=\frac{14-6\sqrt2}{31}\) получаем \[x_{0}=\dfrac{3(14-6\sqrt2)}{2(12\sqrt2+3)}\]

III. Если \(D>0\), то есть \(a\in \left(\frac{14-6\sqrt2}{31};\frac{14+6\sqrt2}{31}\right)\), то уравнение имеет два решения: \[x=\dfrac{-3a\pm \sqrt{-31a^2+28a-4}}{2(2a-1)}\] Учитывая, что \(a\ne 0,5\), то получаем \(a\in \left(\frac{14-6\sqrt2}{31};0,5\right)\cup\left(0,5;\frac{14+6\sqrt2}{31}\right)\).

Важно не забыть, что случай 2 рассматривается при \(a\ne 0,5\), то есть в подслучаях I, II, III мы должны исключить это значение параметра, если оно входит в какой-то промежуток.

Данное уравнение можно переписать в виде \(x-a=4\) при условии, что \(x-a\geqslant 0\). Следовательно, получаем: \[\begin{cases} x=4+a \\ x\geqslant a \end{cases}\] Если \(4+a\geqslant a\), то корень \(x=4+a\) удовлетворяет условию \(x\geqslant a\), то есть система имеет единственное решение \(x=4+a\).
Если \(4+a< a\), то корень \(x=4+a\) не удовлетворяет условию \(x\geqslant a\), то есть система не имеет решений.

Решением неравенства \(4+a\geqslant a\) являются все \(a\in \mathbb{R}\). Следовательно, при всех \(a\) исходное уравнение имеет единственное решение \(x=4+a\).

Раскроем модули. Нули подмодульных выражений – это \(x=-4\) и \(x=3\). Следовательно, при \(x\geqslant 3\) оба модуля раскроются положительно, при \(-4<x<3\) первый модуль раскроется положительно, а второй отрицательно, при \(x\leqslant -4\) оба модуля раскроются отрицательно.

1) \(x\geqslant 3\): \(2x+8+2x-6=a\), откуда \(x=0,25(a-2)\). Чтобы в этом случае уравнение имело корень, нужно, чтобы \(0,25(a-2)\geqslant 3\), то есть \(a\geqslant 14\). Если \(a<14\), то \(x=0,25(a-2)\) не является корнем уравнения.

2) \(-4<x<3\): \(2x+8-2x+6=a\), откуда \(14=a\). Значит, если \(a=14\), то любой \(x\), удовлетворяющий \(-4<x<3\), является решением уравнения. Если \(a\ne 14\), то промежуток \((-4;3)\) не является решением уравнения.

3) \(x\leqslant -4\): \(-2x-8-2x+6=a\), откуда \(x=-0,25(a+2)\). Аналогично первому случаю, если \(-0,25(a+2)\leqslant -4\) (откуда \(a\geqslant 14\)), то \(a=-0,25(a+2)\) является корнем, в противном случае – нет.

Подытожив эти три случая, можно сказать, что при \(a> 14\) решением исходного уравнения будут \(x=0,25(a-2)\), \(x=-0,25(a+2)\). Если \(a=14\), то решением уравнения будут \(x=0,25(a-2)=3\), \(x=-0,25(a+2)=-4\) и \(x\in (-4;3)\) (то есть отрезок \([-4;3]\)). Если \(a<14\), то уравнение не имеет решений.

Уравнение можно преобразовать к виду \((a+2)x=a^2+3\). Оно является уравнением линейного типа. Нужно рассмотреть два случая:

1) Если \(a+2=0\), то есть \(a=-2\), то уравнение примет вид \(0\cdot x=7\). Данное уравнение не имеет решений.

2) Если \(a\ne -2\), то уравнение можно преобразовать к виду \(x=\dfrac{a^2+3}{a+2}\) – это и есть корень этого уравнения.

Данное уравнение линейного типа. Рассмотрим два случая:

1) \(a^2-9=0\), то есть \(a=\pm 3\). При \(a=3\) уравнение примет вид \(0\cdot x=30\). Решений у такого уравнения нет. При \(a=-3\) уравнение примет вид \(0\cdot x=0\). Решением такого уравнения являются \(x\in \mathbb{R}\).

2) \(a^2-9\ne 0\), то есть \(a\ne \pm3\). Тогда уравнение можно переписать в виде \[x=\dfrac{5(a+3)}{a^2-9}=\dfrac 5{a-3}\]Это и есть корень данного уравнения.