Исследование уравнений/неравенств при всех значениях параметра (страница 4)

При \(a<0\) уравнение не имеет решений, так как левая часть неотрицательна. При \(a=0\) уравнение равносильно \(2\cdot 0\cdot x-4=0 \ \Rightarrow \ 0=4\) и также не имеет решений.
При \(a>0\) уравнение равносильно \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2ax-4=a\\ &2ax-4=-a \end{aligned}\end{gathered}\right. \quad\Rightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac{4+a}{2a}\\[2ex] &x=\dfrac{4-a}{2a} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] следовательно, имеет два различных корня.

Данное уравнение линейного типа: \(a(a+1)x=a(2a+3)\).

 

1) Если \(a=-1\), то уравнение примет вид \(0\cdot x=-1\), что не имеет решений.

 

2) Если \(a=0\), то уравнение примет вид \(0\cdot x=0\). Решением будут \(x\in \mathbb{R}\).

 

3) Если \(a\ne -1;0\), то корнем уравнения будет \(x=\dfrac{a(2a+3)}{a(a+1)}=\dfrac{2a+3}{a+1}\).

Данное уравнение равносильно \[\begin{cases} x=a\\x\ne 1\end{cases}\] Следовательно, если \(a=1\), то уравнение не имеет решений, если \(a\ne 1\), то корнем уравнение является \(x=a\).

Разложим выражение в скобках на множители: \(ax^2+a^2x+a+x=ax(a+x)+(a+x)=(a+x)(ax+1)\).

Тогда исходное уравнение равносильно системе: \[\begin{cases} x\geqslant a\\ \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x+a=0 \\ &ax+1=0 \qquad (*)\\ &x-a=0 \end{aligned} \end{gathered} \right. \end{cases}\]

1) \(a=0 \Rightarrow \) уравнение \((*)\) не имеет решений, а вся система имеет одно решение \(x=0\).

 

2) \(a\ne 0\). Тогда система равносильна: \[\begin{cases} x\geqslant a\\ \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x_1=-a \\ &x_2=-\dfrac1a \\ &x_3=a \end{aligned} \end{gathered} \right. \end{cases}\]

Данная система всегда имеет как минимум одно решение \(x_3=a\). Значит, для того, чтобы она имела ровно одно решение, необходимо, чтобы корни \(x_1\) и \(x_2\) не удовлетворяли \(x\geqslant a\) или совпадали с \(x_3\):

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} -a<a\\-\dfrac1a<a \end{cases}\\ &-a=a=-\dfrac1a \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\begin{cases} a>0\\a>0 \end{cases}\\ &a\in\varnothing \end{aligned} \end{gathered} \right. \Rightarrow a>0\]

Рассмотрим два случая:

 

1) \(a=0\). Тогда уравнение принимает вид

\[\sqrt[3]{x^2}+4\sqrt[3]{x^2}=5\sqrt[3]{-x^2} \quad \Rightarrow \quad 10\sqrt[3]{x^2}=0 \quad \Rightarrow \quad x=0\]

2) \(a\ne 0\). Заметим, что \(x=a\) не является корнем уравнения, поэтому разделим правую и левую части уравнения на \(\sqrt[3]{(a-x)^2}\):

\[\sqrt[3]{\left(\dfrac{a+x}{a-x}\right)^2}+ 4\sqrt[3]{\left(\dfrac{a-x}{a-x}\right)^2}- 5\sqrt[3]{\dfrac{a^2-x^2}{(a-x)^2}}=0 \quad \Leftrightarrow \quad \sqrt[3]{\left(\dfrac{a+x}{a-x}\right)^2}- 5\sqrt[3]{\dfrac{a+x}{a-x}}+ 4=0\]

Полученное уравнение с помощью замены \(\sqrt[3]{\dfrac{a+x}{a-x}}=t\) сводится к квадратному уравнению \(t^2-5t+4=0\), корнями которого являются \(t=1\) и \(t=4\). Сделаем обратную замену:

\[\left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\sqrt[3]{\dfrac{a+x}{a-x}}=1\\[4pt] &\sqrt[3]{\dfrac{a+x}{a-x}}=4 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &\dfrac{a+x}{a-x}=1\\[4pt] &\dfrac{a+x}{a-x}=64 \end{aligned} \end{gathered} \right. \quad \Rightarrow \quad \left[ \begin{gathered} \begin{aligned} &x=0\\[4pt] &x=\dfrac{63}{65}a \end{aligned} \end{gathered} \right.\]

Данное неравенство равносильно:

\(\log_{x^2-3x+2}(a^2x(x-1))>\log_{x^2-3x+2}(x^2-3x+2) \Rightarrow\quad \) по методу рационализации:  

\[\begin{cases} x^2-3x+2>0\\ x^2-3x+2\ne 1\\ a^2x(x-1)>0\\ (x^2-3x+2-1)(a^2x(x-1)-x^2+3x-2)>0 \end{cases} \Rightarrow\]  

\[\begin{cases} x\in(-\infty;1)\cup(2;+\infty)\\ x\ne \dfrac{3\pm \sqrt5}2\\ x\in (-\infty;0)\cup(1;+\infty)\\ a\ne 0\\ (x^2-3x+1)((a^2-1)x^2-(a^2-3)x-2)>0 \end{cases} \Rightarrow\]  

\[\begin{cases} x\in (-\infty;0)\cup(2;\frac{3+\sqrt5}2)\cup(\frac{3+\sqrt5}2;+\infty)\\ a\ne 0\\ (x^2-3x+1)((a^2-1)x^2-(a^2-3)x-2)>0 \qquad (*)\end{cases}\]

Назовем \(x\in (-\infty;0)\cup(2;\frac{3+\sqrt5}2)\cup(\frac{3+\sqrt5}2;+\infty)\) — ОДЗ. Рассмотрим последнее неравенство \((*)\).

 

1) При \(a^2-1=0\) вторая скобка становится линейной и неравенство принимает вид: \[(x^2-3x+1)(x-1)>0 \Rightarrow x\in \left(\dfrac{3-\sqrt5}2;1\right)\cup \left(\dfrac{3+\sqrt5}2;+\infty\right)\].

Пересекая данное решение с ОДЗ, получим ответ \(x\in \left(\dfrac{3+\sqrt5}2;+\infty\right)\), то есть открытый луч.

 

Значит, значения \(a=-1;1\) нам подходят.

 

2) Пусть \(a^2-1\ne 0 \), а также \(a\ne 0\) (условие из системы).

 

Найдем корни уравнения \((a^2-1)x^2-(a^2-3)x-2=0\). \(D=(a^2+1)^2>0\) при любых \(a\).

 

Следовательно, уравнение всегда имеет два различных корня \(x_1=1; \ x_2=\dfrac2{1-a^2}\).

 

Тогда выражение можно преобразовать:

 

\((a^2-1)x^2-(a^2-3)x-2=(a^2-1)(x-\dfrac2{1-a^2})(x-1)=((a^2-1)x+2)(x-1)\).

 

Для того, чтобы решить неравенство \((x^2-3x+1)((a^2-1)x+2)(x-1)>0\), необходимо рассмотреть два случая: когда \(a^2-1>0\) и \(a^2-1<0\) (от этого зависит первый знак в методе интервалов).

 

2.1) \(a^2-1>0\). Тогда \(x_2<0\), следовательно, метод интервалов для данного неравенства выглядит так:

 

Пересекая данное решение с ОДЗ, получим объединение двух открытых лучей: \(x\in (-\infty;x_2)\cup \left(\frac{3+\sqrt5}2;+\infty\right)\), что нам не подходит.

 

2.2) \(a^2-1<0\). Тогда \(x_2>0\). Оценим точнее корень \(x_2\):

 

\(a^2>0 \Rightarrow -a^2<0 \Rightarrow 1-a^2<1\), но в нашем случае также \(a^2-1<0\Rightarrow 1-a^2>0\).

 

Таким образом, \(0<1-a^2<1 \Rightarrow \dfrac2{1-a^2}>2\).

 

Таким образом, корень \(x_2\) может располагаться:

 

а) между \(1\) и \(\dfrac{3+\sqrt5}2\);

 

б) совпадать с \(\dfrac{3+\sqrt5}2\);

 

в) быть больше \(\dfrac{3+\sqrt5}2\).

 

Посмотрим, как будет выглядеть метод интервалов в этих случаях:

 

Таким образом, в каждом из случаев а, б, в решение будет выглядеть как интервал или объединение двух интервалов, что после пересечения с ОДЗ не будет лучом. Следовательно, эти случаи нам не подходят.

Рассмотрим два случая допустимых значений параметра:

 

1) \(\dfrac a{a+1}>1\quad\Leftrightarrow\quad a<-1\).

 

В этом случае неравенство равносильно системе:

\[\begin{cases} x^2-ax>0\\ x^2-ax\leqslant ax-a^2+1 \end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x(x-a)>0\\ a-1\leqslant x\leqslant a+1 \end{cases}\]

Т.к. \(a<-1\), то решение на вещественной прямой будет выглядеть так:

 

Таким образом, при \(a<-1\) решение \(x\in [a-1;a)\).

 

2) \(0<\dfrac a{a+1}<1\quad\Leftrightarrow\quad a>0\).

 

В этом случае неравенство равносильно системе:

\[\begin{cases} ax-a^2+1>0\\ x^2-ax\geqslant ax-a^2+1\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} x>\dfrac{a^2-1}a\quad \text{т.к. }a>0\\[2ex] \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\geqslant a+1\\ &x\leqslant a-1\end{aligned}\end{gathered}\right.\end{cases}\]

Т.к. положение точки \(\frac{a^2-1}a\) относительно точек \(a-1\) и \(a+1\) не фиксировано, то рассмотрим случаи:

a) \(\frac{a^2-1}a<a-1\quad\Rightarrow\quad 0<a<1\).

 

Тогда решение системы на вещественной прямой будет выглядеть так:

 

Значит, в данном случае ответом будут \(x\in \left(\frac{a^2-1}a;a-1\right]\cup[a+1;+\infty)\).

 

b) \(\frac{a^2-1}a=a-1\quad\Rightarrow\quad a=1\).

 

Тогда решение системы на вещественной прямой будет выглядеть так:

 

Значит, в данном случае ответом будут \(x\in [a+1;+\infty)\).

 

c) \(a-1<\frac{a^2-1}a<a+1\quad\Rightarrow\quad a>1\).

 

Тогда решение системы на вещественной прямой будет выглядеть так:

 

Значит, в данном случае ответом будут \(x\in [a+1;+\infty)\).

 

d) \(\frac{a^2-1}a\geqslant a+1\quad\Rightarrow\quad a\in \varnothing\), т.к. \(a>0\).