Монотонность функций

Перепишем уравнение в виде: \[(3x^2)^3+3x^2=(x-a)^3+(x-a)\] Рассмотрим функцию \(f(t)=t^3+t\). Тогда уравнение перепишется в виде: \[f(3x^2)=f(x-a)\] Исследуем функцию \(f(t)\). \[f'(t)=3t^2+1>0\] Следовательно, функция \(f(t)\) возрастает при всех \(t\). Значит, каждому значению функции \(f(t)\) соответствует ровно одно значение аргумента \(t\). Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно: \[3x^2=x-a \quad\Leftrightarrow\quad 3x^2-x+a=0\] Чтобы полученное уравнение имело два корня, нужно, чтобы его дискриминант был положительным: \[D=1-12a>0 \quad\Rightarrow\quad a<\dfrac1{12}\]

Сделаем замену: \(ax^2-2x=t\), \(x^2-1=u\). Тогда уравнение примет вид: \[7^t-7^u=\sqrt[7]{-t}-\sqrt[7]{-u} \quad\Leftrightarrow\quad 7^t+\sqrt[7]t=7^u+\sqrt[7]u\] Рассмотрим функцию \(f(w)=7^w+\sqrt[7]w\). Тогда наше уравнение примет вид: \[f(t)=f(u).\]

Найдем производную \[f'(w)=7^w\ln7+\dfrac1{7\cdot \sqrt[7]{w^6}}.\] Заметим, что при всех \(w\ne 0\) производная \(f'(w)>0\), т.к. \(7^w>0\), \(w^6>0\). Заметим также, что сама функция \(f(w)\) определена при всех \(w\). Т.к. к тому же \(f(w)\) непрерывна, то мы можем сделать вывод, что \(f(w)\) возрастает на всем \(\mathbb{R}\).
Значит, равенство \(f(t)=f(u)\) возможно тогда и только тогда, когда \(t=u\). Вернемся к изначальным переменным и решим полученное уравнение:

\[ax^2-2x=x^2-1\quad\Leftrightarrow\quad (a-1)x^2-2x+1=0\] Для того, чтобы данное уравнение имело два корня, оно должно быть квадратным и его дискриминант должен быть положительным:

\[\begin{cases} a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Перенесем все слагаемые, содержащие \(ax\), влево, а содержащие \(x^2\) – вправо, и рассмотрим функцию
\[f(t)=5(t-2)^3+15e^t+6e^t\cdot \sin{2t} +3e^t\cdot \cos{2t}\]

Тогда исходное уравнение примет вид:
\[f(ax)=f(x^2)\]

Найдем производную:
\[f'(t)=15(t-2)^2+15e^t\cdot (1+\cos{2t})\]

Т.к. \((t-2)^2 \geqslant 0, \ e^t>0, \ 1+\cos{2t} \geqslant 0\), то \(f'(t)\geqslant 0\) при любых \(t\in \mathbb{R}\).

Причем \(f'(t)=0\), если \((t-2)^2=0\) и \(1+\cos{2t}=0\) одновременно, что не выполняется ни при каких \(t\). Следовательно, \(f'(t)> 0\) при любых \(t\in \mathbb{R}\).

Таким образом, функция \(f(t)\) строго возрастает при всех \(t\in \mathbb{R}\).

Значит, уравнение \(f(ax)=f(x^2)\) равносильно уравнению \(ax=x^2\).

Уравнение \(x^2-ax=0\) при \(a=0\) имеет один корень \(x=0\), а при \(a\ne 0\) имеет два различных корня \(x_1=0\) и \(x_2=a\).
Нам нужно найти значения \(a\), при которых уравнение будет иметь не менее двух корней, учитывая также то, что \(a>0\).
Следовательно, ответ: \(a\in (0;+\infty)\).

Домножим правую и левую части уравнения на \(2^{\sqrt{x+1}}\) (т.к. \(2^{\sqrt{x+1}}>0\)) и перепишем уравнение в виде: \[2^{ax}\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(ax+2)}=2^{\sqrt{x+1}}\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(\sqrt{x+1}+2)}\]

Рассмотрим функцию \(y=2^t\cdot \log_{\frac{1}{9}}{(t+2)}\) при \(t\geqslant 0\) (т.к. \(\sqrt{x+1}\geqslant 0\)).

Производная \(y'=\left( -2^t\cdot \log_9{(t+2)}\right)'=-\dfrac{2^t}{\ln9}\cdot \left( \ln 2\cdot \ln{(t+2)}+\dfrac{1}{t+2}\right)\).

Т.к. \(2^t>0, \ \dfrac{1}{t+2}>0, \ \ln{(t+2)}>0\) при всех \(t\geqslant 0\), то \(y'<0\) при всех \(t\geqslant 0\).

Следовательно, при \(t\geqslant 0\) функция \(y\) монотонно убывает.

Уравнение можно рассматривать в виде \(y(t)=y(z)\), где \(z=ax, t=\sqrt{x+1}\). Из монотонности функции следует, что равенство возможно только в том случае, если \(t=z\).

Значит, уравнение равносильно уравнению: \(ax=\sqrt{x+1}\), которое в свою очередь равносильно системе: \[\begin{cases} a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end{cases}\]

При \(a=0\) система имеет одно решение \(x=-1\), которое удовлетворяет условию \(ax\geqslant 0\).

Рассмотрим случай \(a\ne 0\). Дискриминант первого уравнения системы \(D=1+4a^2>0\) при всех \(a\). Следовательно, уравнение всегда имеет два корня \(x_1\) и \(x_2\), причем они разных знаков (т.к. по теореме Виета \(x_1\cdot x_2=-\dfrac{1}{a^2}<0\)).

Это значит, что при \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) условию подходит положительный корень. Следовательно, система всегда имеет единственное решение.

Значит, \(a\in \mathbb{R}\).

Рассмотрим функцию \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\) при некотором фиксированном \(a\). Найдем ее производную: \(f'(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2+(x-1)^2)\).

Заметим, что \(f'(x)\geqslant 0\) при всех значениях \(x\) и \(a\), причем равна \(0\) только при \(x=a=1\). Но при \(a=1\):
\(f'(x)=6(x-1)^2 \Rightarrow f(x)=2(x-1)^3 \Rightarrow\) уравнение \(2(x-1)^3=0\) имеет единственный корень \(x=1\), не удовлетворяющий условию. Следовательно, \(a\) не может быть равно \(1\).

Значит, при всех \(a\ne 1\) функция \(f(x)\) является строго возрастающей, следовательно, уравнение \(f(x)=0\) может иметь не более одного корня. Учитывая свойства кубической функции, график \(f(x)\) при некотором фиксированном \(a\) будет выглядеть следующим образом:

Значит, для того, чтобы уравнение имело корень из отрезка \([-1;0]\), необходимо: \[\begin{cases} f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a(a^2+3)\leqslant 0\\ (a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end{cases} \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Таким образом, \(a\in [-2;0]\).

ОДЗ уравнения: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in [0;1]\). Следовательно, для того, чтобы уравнение имело корни, нужно, чтобы хотя бы одно из уравнений \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad {\small{\text{или}}}\quad \sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0\] имело решения на ОДЗ.

1) Рассмотрим первое уравнение \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &\sin x=2a+2\\ &\sin x=3\\ \end{aligned} \end{gathered}\right. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\] Данное уравнение должно иметь корни на \([0;1]\). Рассмотрим окружность:

Таким образом, мы видим, что для любых \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) уравнение будет иметь одно решение, а для всех остальных – не будет иметь решений. Следовательно, при \(a\in \left[-1;-1+0,5\sin 1\right]\) уравнение имеет решения.

2) Рассмотрим второе уравнение \[\sqrt2a+8x\sqrt{2x-2x^2}=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt{x-x^2}=-a\]

Рассмотрим функцию \(f(x)=8x\sqrt{x-x^2}\). Найдем ее производную: \[f'(x)=-4\cdot \dfrac{x(4x-3)}{\sqrt{x-x^2}}\] На ОДЗ производная имеет один ноль: \(x=\frac34\), который к тому же является точкой максимума функции \(f(x)\).
Заметим, что \(f(0)=f(1)=0\). Значит, схематично график \(f(x)\) выглядит так:

Следовательно, для того, чтобы уравнение имело решения, нужно, чтобы график \(f(x)\) пересекался с прямой \(y=-a\) (на рисунке изображен один из подходящих вариантов). То есть нужно, чтобы \[0\leqslant -a\leqslant f\left(\dfrac34\right) \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{3\sqrt3}2\leqslant a\leqslant 0\]

3) Таким образом, изначальное уравнение будет иметь решения при \(a\in \left[-1;-1+0,5\sin 1\right]\) или \(a\in \left[-\dfrac{3\sqrt3}2;0\right]\). Объединяя эти решения, получим \[a\in \left[-\dfrac{3\sqrt3}2;0\right].\]

Рассмотрим семейства функций \(f_a(x)=\sqrt{x-1}+5x^2-9x+3a+8, \ \ g_a(x)=\dfrac{a^2}{x}\).

ОДЗ уравнения: \(x\geqslant 1\). При этих \(x\):

Функция \(y_1=\sqrt{x-1}\) является строго возрастающей. Графиком функции \(y_2=5x^2-9x\) является парабола, вершина которой находится в точке \(x=\dfrac{9}{10}\). Следовательно, при всех \(x\geqslant 1\) функция \(y_2\) также строго возрастает (правая ветвь параболы). Т.к. сумма строго возрастающих функций есть строго возрастающая, то \(f_a(x)\) – строго возрастает (константа \(3a+8\) не влияет на монотонность функции).

Функция \(g_a(x)=\dfrac{a^2}{x}\) при всех \(x\geqslant 1\) представляет собой часть правой ветви гиперболы и является строго убывающей.

Решить уравнение \(f_a(x)=g_a(x)\) — значит найти точки пересечения функций \(f\) и \(g\). Из их противоположной монотонности следует, что уравнение может иметь не более одного корня.

При \(x\geqslant 1\)   \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0<g_a(x)\leqslant a^2\). Следовательно, уравнение будет иметь единственное решение в том случае, если:

\[3a+4\leqslant a^2 \Rightarrow a\in (-\infty;-1]\cup[4;+\infty)\]