Монотонность функций (страница 2)
\(\blacktriangleright\) Функция \(f(x)\) называется возрастающей на промежутке \(X\), если для любых \(x_1, x_2\in
X\), таких что \(x_1<x_2\), выполнено \(f(x_1)<f(x_2)\).
Функция называется неубывающей на промежутке \(X\), если для любых \(x_1, x_2\in X\), таких что \(x_1<x_2\), выполнено \(f(x_1)\leq f(x_2)\).
\(\blacktriangleright\) Функция \(f(x)\) называется убывающей на промежутке \(X\), если для любых \(x_1, x_2\in X\), таких что \(x_1<x_2\), выполнено \(f(x_1)>f(x_2)\).
Функция называется невозрастающей на промежутке \(X\), если для любых \(x_1, x_2\in X\), таких что \(x_1<x_2\), выполнено \(f(x_1)\geq f(x_2)\).
\(\blacktriangleright\) Возрастающие и убывающие функции называют строго монотонными, а невозрастающие и неубывающие — просто монотонными.
\(\blacktriangleright\) Основные свойства:
I. Если функция \(f(x)\) — строго монотонна на \(X\), то из равенства \(x_1=x_2\) (\(x_1,x_2\in X\)) следует \(f(x_1)=f(x_2)\), и наоборот.
Пример: функция \(f(x)=\sqrt x\) является строго возрастающей при всех \(x\in [0;+\infty)\), поэтому из равенства \(\sqrt x=\sqrt 4\) следует \(x=4\).
II. Если функция \(f(x)\) — строго монотонна на \(X\), то уравнение \(f(x)=c\), где \(c\) — некоторое число, всегда имеет не более одного решения на \(X\).
Пример: функция \(f(x)=x^2\) является строго убывающей при всех \(x\in
(-\infty;0]\), поэтому уравнение \(x^2=9\) имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее одно: \(x=-3\).
функция \(f(x)=-\dfrac 1{x+1}\) является строго возрастающей при всех \(x\in (-1;+\infty)\), поэтому уравнение \(-\dfrac 1{x+1}=0\) имеет на этом промежутке не более одного решения, а точнее ни одного, т.к. числитель левой части никогда не может быть равен нулю.
III. Если функция \(f(x)\) — неубывает (невозрастает) и непрерывна на отрезке \([a;b]\), причем на концах отрезка она принимает значения \(f(a)=A, f(b)=B\), то при \(C\in [A;B]\) (\(C\in
[B;A]\)) уравнение \(f(x)=C\) всегда имеет хотя бы одно решение.
Пример: функция \(f(x)=x^3\) является строго возрастающей (то есть строго монотонной) и непрерывной при всех \(x\in\mathbb{R}\), поэтому при любом \(C\in (-\infty;+\infty)\) уравнение \(x^3=C\) имеет ровно одно решение: \(x=\sqrt[3]{C}\).
Найдите все значения параметра \(a\), при каждом из которых хотя бы одно решение уравнения \[\sin x \cdot \cos x+2\cos x=a+2+2\sin x -5x\]
принадлежит отрезку \(\left[ 0;\dfrac{\pi}{2} \right]\).
Перепишем уравнение в виде: \[\sin x \cdot \cos x+2\cos x -2-2\sin x +5x=a\]
и рассмотрим функцию \(f(x)=\sin x \cdot \cos x+2\cos x -2-2\sin x +5x\). Найдем ее производную:
\[\begin{aligned} &f'(x)= 5+\cos^2 x-\sin^2 x-2\sin x-2\cos x=5+\cos{2x}-2(\sin x+\cos x)=\\[2ex] &=5+\cos {2x} -2\sqrt2 \left(\dfrac{\sqrt2}{2}\sin x + \dfrac{\sqrt2}{2}\cos x\right)=5+\cos {2x}-2\sqrt 2 \cdot \sin {\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)} \end{aligned}\]
Т.к. \(-1\leqslant \cos {2x}\leqslant 1, \ \ \ -1\leqslant \sin {\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)}\leqslant 1 \Rightarrow \ \ \ f'(x)\geqslant 4-2\sqrt2>0 \) при всех значениях \(x\).
Следовательно, \(f(x)\) – строго возрастающая функция. Значит, уравнение \(f(x)=a\) может иметь не более одного решения при всех значениях \(a\). Для того, чтобы \(x_0\) являлось решением уравнения, нужно, чтобы \(a=f(x_0)\).
Т.к. функция \(f(x)\) – строго возрастает, то если \(x_0\) пробегает отрезок \(\left[0;\dfrac{\pi}{2}\right]\), то множеством значений функции \(f(x)\) является отрезок \(\left[f(0); f \left( \dfrac{\pi}{2} \right)\right]\).
Таким образом, так как \(f(x)=a\), то \(a\in \left[f(0); f \left( \dfrac{\pi}{2} \right)\right]\), следовательно, \(a\in \left[0; \dfrac{5\pi}{2}-4\right]\).
\(a\in \left[ 0; \dfrac{5\pi}{2} -4\right]\).
