Статика. Равновесие
Груз удерживают на месте с помощью рычага, приложив вертикальную силу 400 Н. Рычаг состоит из шарнира и однородного стержня массой 20 кг и длиной 4 м. Расстояние от оси шарнира до точки подвеса груза равно 1 м. Чему равна масса груза? (Ответ дайте в килограммах.) 
Запишем правило моментов относительно точки закрепления шарнира. Так как груз находится в равновесии, то алгебраическая сумма моментов действующих на него сил равна нулю: \[M_{Mg}+M_{F}+M_{mg}=0\] \[FL-Mgb-mg\dfrac{L}{2}=0\] \[Mgb=FL-mg\dfrac{L}{2}\] Выразим массу груза \(M\): \[M=\dfrac{FL-mg\dfrac{L}{2}}{gb}\] \[M = \dfrac{400\text{ Н}\cdot4\text{ м}-20\text{ кг}\cdot10\text{ м}/\text{с}^2\cdot\dfrac{4\text{ м}}{2}}{10\text{ м}/\text{с}^2\cdot1\text{ м}}=120\text{ кг}\]
Какой груз может перевозить сосновый плот площадью \(S=1\) м\(^2\) и толщиной \(h=5\) см, если он плывет по воде? Ответ дайте в килограммах.
Максимальная загруженность плота будет достигнута в том случае, когда плот будет погружен на максимальную глубину, а именно 5 см. В этом случае сила Архимеда будет уравновешивать силу тяжести плота и груза \[F_a=g(m+M),\] где \(m\) – масса плота, \(M\) – масса груза.
Данное уравнение можно переписать в виде \(\rho g S h=g\rho_1 S h + Mg,\) где \(\rho\) – плотность воды, \(\rho_1\) – плотность сосны. Выразим массу груза \[M=\dfrac{gSh(\rho-\rho_1 )}{g}=1\text{ м$^2$}0,05\text{ м}(1000\text{ кг/м$^3$}-400\text{ кг/м$^3$})=30\text{ кг}\]
При взвешивании на неравноплечих весах одного и того же тела вес тела на одной чашки составил 40 Н, а на другой 10 Н. Найдите истинный вес тела
Запишем уравнение моментов для двух случаев \[P_1l_1=Pl_2\] и \[Pl_1=P_2l_2\] где \(P\) – истинный вес тела, \(P_1\) и \(P_2\) – все тела в первом и втором взвешивании. Поделим первое на второе \[\dfrac{P_1}{P}=\dfrac{P}{P_2}\Rightarrow P=\sqrt{P_1\cdot P_2}=\sqrt{40\text{ Н}\cdot 10\text{ Н}}=20\text{ Н}\]
На невесомый стержень длиной \(l=1\) м с разных сторон повесили грузы, массами \(m_1=1\) кг и \(m_2=3\) кг. На каком расстоянии от большего груза следует установить опору, чтобы стержень оставался в равновесии. Ответ дайте в см.
Обозначим расстояние от большего груза до опоры за \(x\).
Запишем правило моментов для стержня \[F_1(l-x)=F_2x\] \[m_1g(l-x)=m_2gx\] Выразим отсюда \(x\) \[x=\dfrac{m_1l}{m2+m1}=\dfrac{1\text{ кг}\cdot 1\text{ м}}{1\text{ кг}+3\text{ кг}}=25 \text{ см}\]
К невесомому стрежню длиной \(l=1\) м с одной стороны повесили груз массой \(m_1=3\) кг, а опоры поставили на расстоянии 25 см от груза массой \(m_1\). Груз какой массы надо расположить на другом конце стержня? Ответ дайте в килограммах.
Пусть плечо груза \(m_1\) – \(l_1\) и оно равно \(l_1=0,25\)м, а второе плечо значит равно \(l_2=1-0,25=0,75\) м.
Запишем правило моментов \[m_1gl_1=m_2gl_2 \Rightarrow m_2=\dfrac{m_1l_1}{l_2}=\dfrac{3\text{ кг}\cdot 0,25\text{ м}}{0,75\text{ м}}=1\text{ кг}\]
К стрежню длиной \(l=1\) м и массой \(m=1\) кг с одной стороны повесили груз массой \(m_1=7\) кг, а опоры поставили на расстоянии 25 см от груза массой \(m_1\). Груз какой массы надо расположить на другом конце стержня? Ответ дайте в килограммах.
Пусть плечо груза \(m_1\) – \(l_1\) и оно равно \(l_1=0,25\)м, а второе плечо значит равно \(l_2=1-0,25=0,75\) м.
Запишем правило моментов, в этом случае будет 3 силы \[m_1gl_1-m_2gl_2-mg(\dfrac{l}{2}-l_1)=0\] Отсюда масса второго груза \[m_2=\dfrac{m_1l_1-m(\dfrac{l}{2}-l_1)}{l_2}=\dfrac{2\text{ кг}\cdot 0,25\text{ м}-1\text{ кг}(\dfrac{1\text{ м}}{2}-0,25\text{ м})}{0,75\text{ м}}=2\text{ кг}\]
На стержень длиной \(l=1\) м и массой \(m=1\) кг с разных сторон повесили грузы, массами \(m_1=7\) кг и \(m_2=2\) кг. На каком расстоянии от большего груза следует установить опору, чтобы стержень оставался в равновесии. Ответ дайте в см.
Пусть плечо груза \(m_1\) – \(l_1\) и оно равно а второе плечо значит равно \(l_2=l-l_1\) м.
Запишем правило моментов, в этом случае будет 3 силы \[m_1gl_1-m_2g(l-l_1)-mg(\dfrac{l}{2}-l_1)=0\] Отсюда \(l_1\) \[l_1=\dfrac{m_2l+m\dfrac{l}{2}}{m_1+m_2+m}=\dfrac{2\text{ кг}\cdot1\text{ м}+1\text{ кг} \cdot 0,5\text{ м}}{7\text{ кг}+2\text{ кг}+1\text{ кг}}=25\text{ см}\]
