Статика. Равновесие (страница 2)
Тело, подвешенное на тонкой нити, полностью погружено в жидкость и не касается дна сосуда (см. рисунок), при этом модуль силы натяжения нити равен \(T=12\) Н. Найдите плотность жидкости, если масса тела \(m=2\) кг, а его объем \(V=10^{-3}\) м\(^3\) 
Запишем второй закон Ньютона \[mg-T-F_a=0 \Rightarrow mg -T -\rho gV=0,\] где \(T\) – сила натяжения нити, \(m\) – масса бруска, \(F_a\) – сила Архимеда, \(\rho\) – плотность жидкости.
Откуда плотность жидкости \[\rho=\dfrac{mg-T}{gV}=\dfrac{20\text{ Н}-12\text{ Н}}{10\text{ Н/кг}\cdot 10^{-3}\text{ м$^3$}}=800\text{ кг/м$^3$}\]
Груз массой \(m\) и объёмом V = 10\(^{-3}\) м\(^3\), подвешенный на тонкой нити, целиком погружён в воду и не касается дна сосуда (см. рисунок). Модуль силы натяжения нити \(T = 14\) Н. Найдите массу груза.
“Основная волна 2020 Вариант 2”
На тело действует сила Архимеда \(F_A\), сила натяжения нити \(T\) и сила тяжести \(mg\). Запишем второй закон Ньютона для тела, находящегося в равновесии \[F_A+T-mg= \Rightarrow m=\dfrac{F_A+T}{g}\] Силу Архимеда можно найти по формуле: \[F_A=\rho g V,\] где \(\rho\) – плотность жидкости.
Откуда мааса груза \[m=\dfrac{\rho g V+T}{g}=\dfrac{1000\text{ кг/м$^3$}\cdot 10\text{ Н/кг}\cdot 10^{-3}\text{ м$^3$}+14\text{ Н}}{10\text{ Н/кг}}=2,4\text{ кг}\]
Однородная балка массы \(m\) ( \(mg= 700\) Н) и длины 2,5 м опирается о гладкий пол и гладкий выступ \(B\), расположенный на высоте 1,75 м над полом. Балка составляет с вертикалью угол 45\(^\circ\) и удерживается веревкой \(AC\), натянутой у пола. Найдите силу натяжения веревки. (Ответ дайте в ньютонах и округлите до целых.) 
Так как балка находится в равновесии, то выполняется условие: \[\begin{cases}
\vec{N_B}+\vec{N_C}+m\vec{g}+\vec{T}=0\\
M_{N_B}+M_{N_C}+M_{T}+M_{mg}=0
\end{cases}\]
Направим ось х вправо, ось y — вертикально вверх и спроецируем первое уравнение на оси: \[Ox: N_B \cos45^\circ-T=0\] \[Oy: N_B \sin45^\circ+N_C-mg=0\]
Уравнение моментов сил относительно оси \(C\): \[-N_B \dfrac{h}{\cos 45^\circ}+mg\dfrac{l}{2}\sin 45^\circ=0\] \[N_B=\dfrac{mgl\sin45^\circ\cos45^\circ}{2h }=\dfrac{700\text{ Н}\cdot2,5\text{ м}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2\cdot1,75\text{ м}}=250 \text{ Н}\]
Найдем силу натяжения нити T: \[T=N_B \cos45^\circ=250\text{ Н} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\approx177 \text{ Н}\]
Однородная балка массы \(m\) ( \(mg= 700\) Н) и длины 2,5 м опирается о гладкий пол и гладкий выступ \(B\), расположенный на высоте 1,75 м над полом. Балка составляет с вертикалью угол 45\(^\circ\) и удерживается веревкой \(AC\), натянутой у пола. Найдите силу реакции пола. (Ответ дайте в ньютонах.)
Так как балка находится в равновесии, то выполняется условие: \[\begin{cases}
\vec{N_B}+\vec{N_C}+m\vec{g}+\vec{T}=0\\
M_{N_B}+M_{N_C}+M_{T}+M_{mg}=0
\end{cases}\]
Направим ось х вправо, ось y — вертикально вверх и спроецируем первое уравнение на оси: \[Ox: N_B \cos45^\circ=0\] \[Oy: N_B \sin45^\circ+N_C-mg=0\]
Уравнение моментов сил относительно оси \(C\): \[-N_B \dfrac{h}{\cos 30^\circ}+mg\frac{l}{2}\sin 45^\circ=0\] \[N_B=\dfrac{mgl\sin45^\circ\cos45^\circ}{2h }=\frac{700\text{ Н}\cdot2,5\text{ м}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2\cdot1,75\text{ м}}=250 \text{ Н}\]
Найдем силу \(N_C\): \[N_C=mg-N_B \sin45^\circ=700\text{ Н}-177\text{ Н}\approx 523\text{ Н}\]
Однородная балка массы \(m\) ( \(mg= 700\) Н) и длины 2,5 м опирается о гладкий пол и гладкий выступ \(B\), расположенный на высоте 1,75 м над полом. Балка составляет с вертикалью угол 45\(^\circ\) и удерживается веревкой \(AC\), натянутой у пола. Найдите силу реакции выступа. (Ответ дайте в ньютонах.)
Так как балка находится в равновесии, то выполняется условие: \[\begin{cases}
\vec{N_B}+\vec{N_C}+m\vec{g}+\vec{T}=0\\
M_{N_B}+M_{N_C}+M_{T}+M_{mg}=0
\end{cases}\]
Направим ось х вправо, ось y — вертикально вверх и спроецируем первое уравнение на оси: \[Ox: N_B \cos45^\circ-T=0\] \[Oy: N_B \sin45^\circ+N_C-mg=0\]
Уравнение моментов сил относительно оси \(C\): \[-N_B \dfrac{h}{\cos 45^\circ}+mg\dfrac{l}{2}\sin 45^\circ=0\] \[N_B=\dfrac{mgl\sin45^\circ\cos45^\circ}{2h }=\dfrac{700\text{ Н}\cdot2,5\text{ м}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}}{2\cdot1,75\text{ м}} = 250 \text{ Н}\]
