Законы сохранения в механике

Сделаем рисунок системы “камень+снаряд” после столкновения.

Где \(p_1\) – импульс камня до столкновения, \(p_2\) – импульс снаряда до столкновения, О – точка столкновения камня и снаряда, \(p\) – суммарный импульс системы после столкновения, а угол \(\alpha\) – угол отклонения от первоначальной траектории.

Камень, летящий вверх, движется равнозамедленно. Найдем скорость камня в момент столкновения по формуле: \[v_1= v_0-gt\]

Где \(t\) – время полета камня. Скорость камня в момент столкновения равна \[v_1=50\text{ м/с}-10\text{ м/c$^2$}\hspace{5 mm}2\text{ с}=30\text{ м/c}\]

Так как система замкнутая, то выполняется закон сохранения импульса. \[\vec{p_1}+\vec{p_2}=\vec{p}\]

Импульсы тел до столкновения найдем по формулам: \(p_1=m_1v_1\) и \(p_2=m_2v_2\)

Тогда \(p_1=3\sqrt{3}\text{ кг}\hspace{5 mm}20\text{ м/c}=60\sqrt{3} \dfrac{\text{ кг м}}{\text{ с}}\), а \(p_2=0,3\text{кг}\hspace{5 mm} 200\text{ м/c}=60\dfrac{\text{ кг м}}{\text{ с}}\)

Спроецируем закон сохранения импульса на оси \(Oy\) и \(Ox\) и запишем полученные уравнения

\[\begin{cases} Ox: & p_1=p\cos\alpha \\ Oy: & p_2=p\sin\alpha \\ \end{cases}\]

Выразим \(p\) из каждого уравнения

\[\begin{cases} Ox: & p=\dfrac{p_1}{\cos\alpha}\quad (1) \\ Oy: & p=\dfrac{p_2}{\sin\alpha}\quad(2) \\ \end{cases}\]

Приравняем (1) и (2) \[\dfrac{p_1}{\cos\alpha}=\dfrac{p_2}{\sin\alpha}\Rightarrow p_1\sin\alpha=p_2\cos\alpha\] \[60\sqrt{3}\sin\alpha=60\cos\alpha\]

Поделим уравнение на \(\dfrac{60}{\cos\alpha}\) \[\sqrt{3}tg\alpha=1\Rightarrow tg\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\]

Следовательно, угол отклонения составил 30 градусов

Так как шарик падает без начальной скорости, то кинетическая энергия вначале полета равна 0, аналогично с кинетической энергией на максимальной высоте после удара шарика об землю, следовательно, закон сохранения энергии можно переписать в виде: \[E_\text{ пот1}=E_\text{ пот2}+Q \quad (1)\]

Где \(E_\text{ пот1}\) – потенциальная энергия на высоте \(h\), \(E_\text{ пот2}\) – потенциальная энергия на максимальной высоте после удара. Они находятся по формулам: \[E_\text{ пот1}=mgh \quad (2)\] \[E_\text{ пот2}=mgH\quad (3)\]

\(H\) – максимальная высота подъема камня после удара о землю. Подставим (2) и (3) в (1) \[mgh=mgH+Q\]

Выразим \(H\) \[H=\dfrac{mgh-Q}{mg}\]

Подставим числа из условия \[H=\dfrac{2\text{ кг}\hspace{5 mm} 10\text{ Н/кг}\hspace{5 mm}5\text{ м} - 20\text{ Дж}}{2\text{ кг}\hspace{5 mm}10\text{ Н/кг}}=4\text{ м}\]

Сделаем рисунок

Где \(p\) – импульс снаряда, \(p_1\) – импульс первого осколка, \(p_2\) – импульс второго осколка.

По закону сохранения импульса \[\vec{p}=\vec{p_1}+\vec{p_2}\]

Спроецируем закон сохранения импульса на оси \(Oy\) и \(Ox\) и запишем полученные уравнения

\[\begin{cases} Ox: & p=p_2\cos\alpha \quad(1) \\ Oy: & 0=p_1+p_2\sin\alpha \quad(2) \\ \end{cases}\]

Выразим из (2) \(p_2\) \[p_2=\dfrac{p_1}{\sin\alpha} \quad (3)\]

Затем подставим (3) в (1) \[p=\dfrac{p_1\cos\alpha}{\sin\alpha} \quad (4)\]

Импульс первого осколка находится по формуле: \[p_1=\dfrac{mv_1}{2} \quad (5)\]

Подставим (5) в (4) \[p=\dfrac{mv_1\cos\alpha}{2\sin\alpha}=\dfrac{\dfrac{2\text{ кг}\hspace{5 mm} 10\text{ м/c}\hspace{5 mm}\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{2}{2}}\approx 17\dfrac{\text{ кг м }}{\text{с }}\]

Во время подъема вертикальная составляющая импульса будет уменьшаться, пока не достигнет нуля, а горизонтальная будет неизменна и она находится по формуле: \[p_x=p_o\cos60= p_x=m v_0 \cos30 \quad (1)\]

Кинетическая энергия камня в верхней точке находится по формуле: \[E_k=\dfrac{mv_0^2}{2}\Rightarrow E_k=\dfrac{m^2 v_0^2}{2m}\quad (2)\]

Подставим (1) в (2) \[E_k=\dfrac{p_x^2}{2m}=\dfrac{p_0^2\cos^2 30}{2m}=\dfrac{4^2 \text{кг$^2$ м$^2$/c$^2$}\hspace{5 mm} 3}{4\hspace{5 mm}2\hspace{5 mm}2\text{ кг}}=\dfrac{48\text{ кг м$^2$/c$^2$}}{16\text{ кг}}=3\text{ Дж}\]

Запишем систему, состоящую из закона сохранения импульса и закона сохранения энергии

\[\begin{cases} \vec{p_1}=\vec{p_{k1}}+\vec{p_{k2}}\\ E_1=E_{k1}+E_{k2}\\ \end{cases}\]

Запишем систему с учетом проекций векторов

\[\begin{cases} p_1=-p_{k1}+p_{k2}\\ E_1=E_{k1}+E_{k2}\\ \end{cases}\]

Где \(p_1 \) и \(E_1\) – импульс и кинетическая энергия первого шара до столкновения, \(p_{k1}\) и \(E_{k1}\) – импульс и кинетическая энергия первого шара после столкновения, а \(p_{k2}\) и \(E_{k2}\) – импульс и кинетическая энергия второго шара после столкновения. Импульс находится по формуле: \[p=mv \quad (1)\]

А кинетическая энергия тела: \[E=\dfrac{mv^2}{2}\quad (2)\]

Подставим (1) и (2) в систему с учетом индексов

\[\begin{cases} m_1 v_1 = -m_1v_{k1}+m_2v_{k2}\\ \dfrac{m_1v_1^2}{2}=\dfrac{m_1v_{k1}^2}{2}+\dfrac{m_2v_{k2}^2}{2} \\ \end{cases}\]

Умножим на 2 второе уравнение

\[\begin{cases} m_1 v_1 = -m_1v_{k1}+m_2v_{k2}\\ m_1v_1^2=m_1v_{k1}^2+m_2v_{k2}^2 \\ \end{cases}\]

Перенесем с \(m_1\) в одну сторону, а с \(m_2\) в другую и вынесем массы за скобку

\[\begin{cases} m_1 (v_1+ v_{k1}) =m_2v_{k2}\\ m_1(v_1^2-v_{k1}^2)=m_2v_{k2}^2 \\ \end{cases}\]

Во втором уравнении преобразуем разность квадратов

\[\begin{cases} m_1 (v_1+ v_{k1}) =m_2v_{k2} \quad (1)\\ m_1((v_1-v_{k1})(v_1+v_{k1}))=m_2v_{k2}^2 \quad (2)\\ \end{cases}\]

Поделим (2) на (1)

\[\dfrac{m_1((v_1-v_{k1})(v_1+v_{k1}))}{m_1 (v_1+ v_{k1})}=\dfrac{m_2v_{k2}^2}{m_2v_{k2}}\Rightarrow v_{k2}=v_1-v_{k1}\quad(3)\]

Подставим (3) в (1) и выразим \(v_{k1}\)

\[m_1(v_1+v_{k1})=m_2(v_1-v_{k1})\Rightarrow v_{k1}=\dfrac{v_1(m_1-m_2)}{m_2+m_1}\quad(4)\]

Подставим (4) в формулу для нахождения кинетической энергии первого шара после столкновения \[E_{k1}=\dfrac{m_1v_1^2 (m_2-m_1)^2}{2(m_2+m_1)^2}=\dfrac{5\text{ кг}\hspace{5 mm}9\text{ м$^2$/c$^2$ }(10\text{ кг}-5\text{ кг})}{2( 10\text{ кг}+5\text{ кг})}= 7,5\text{ Дж}\]

Потенциальная энергия пружины переходит в кинетическую энергию мяча. \[\dfrac{kx^2}{2}=\dfrac{mv^2}{2}\] где \(k\) – жесткость пружины, \(x\) – сжатие, \(m\) – масса шарика, \(v\) – скорость шарика.
Отсюда масса шарика \[m=\dfrac{kx^2}{v^2}=\dfrac{2\cdot 10^3\text{ Н/м}\cdot 10^-4\text{ м$^2$}}{10^2\text{ м$^2$/с$^2$}}=2\cdot 10^{-3}\text{ кг}=0,002\text{ кг}\]

Потенциальная энергия на высоте \(h=6\) м перейдет в кинетическую энергию у подножья горки, которая впоследствии перейдет в работу сил трения, то есть \[E_n=E_k=A\] Или \[mgh=FS\] где \(m\) – масса человека и санок, \(F\) – сила трения, \(S\) – расстояние движения по горизонтали.
Откуда \(S\) равно \[S=\dfrac{mgh}{F}=\dfrac{100\text{ кг}\cdot 10\text{ Н/кг}\cdot 6\text{ м} }{160\text{ Н}}=37,5\text{ м}\]