Законы сохранения в механике (страница 2)

Пусть тело бросили с начальной скоростью \(v_0\), а конечная скорость равна \(v\), тогда выполняется закон сохранения энергии, при этом вся потенциальная энергия тела перейдет в кинетическую. \[E_n+\dfrac{mv_0^2}{2}=\dfrac{mv^2}{2}\] где \(m\) – масса тела, \(E_n\) – начальная потенциальная энергия тела.
Отсюда начальная скорость \[v_0=\sqrt{v^2-\dfrac{2E_n}{m}}=\sqrt{36\text{ м$^2$/с$^2$}-\dfrac{2\cdot32\text{ Дж}}{2\text{ кг}}}=2\text{ м/с}\]

По закону сохранения энергии: \[E_\text{пот1}+E_\text{кин1}=E_\text{пот2} + E_\text{кин2}\]

Где \(E_\text{пот1}\) – потенциальная энергия на высоте \(H\), \(E_\text{кин1}\) – кинетическая энергия на высоте \(H\), \(E_\text{пот2}\) – потенциальная энергия на высоте \(h\), \(E_\text{кин2}\) – кинетическая энергия на высоте \(h\), а \(E_\text{кин2}\) – кинетическая энергия камня на высоте \(h\) \[E_\text{кин2}=E_\text{пот1}+E_\text{кин1}-E_\text{пот2}\quad (1)\]

Найдем потенциальную энергию на высоте \(H\) по формуле: \[E_\text{пот1}=mgH \quad (2)\]

А кинетическую энергию на высоте \(H\) по формуле: \[E_\text{кин1}=\dfrac{m v_0^2}{2} \quad (3)\]

Потенциальная энергия на высоте \(h\) находится по формуле: \[E_\text{пот2}=mgh \quad (4)\]

А кинетическую энергию на высоте \(h\) по формуле: \[E_\text{кин2}=\dfrac{m v_1^2}{2} \quad (5)\]

Подставим формулы (2) (3) (4) в (1) \[E_\text{кин2}=mgH+\dfrac{m v_0^2}{2}+mgh=m(gH+\dfrac{v_0^2}{2}-gh)=2\text{ кг}(10 \text{ Н/кг}\cdot 45\text{ м}+\dfrac{100\text{ м$^2$/c$^2$}}{2}-10 \text{ Н/кг}\cdot 10\text{ м})=800 \text{ Дж}\]

Подставим значение \(E_\text{кин2}\) в формулу (5) \[400\text{ Дж}=\dfrac{m v_1^2}{2}\]

Выразим скорость тела на высоте \(h\) \[v_1=\sqrt{\dfrac{1600}{m}}\quad (6)\]

Импульс тела найдем по формуле: \[p=mv_1\]

Подставим формулу (5) в формулу импульса тела \[p=2\text{ кг}\sqrt{\dfrac{1600\text{ Дж}}{2\text{ кг}}}=\sqrt{2}\hspace{2 mm}2\text{ кг}20\text{ м/c}=40\sqrt{2}\dfrac{\text{ кг м}}{\text{ с}}=56,6\dfrac{\text{ кг м}}{\text{ с}}\]

По закону сохранения энергии: \[E_\text{пот1}+E_\text{кин1}=E_\text{пот2} + E_\text{кин2}\]

Где \(E_\text{пот1}\) – потенциальная энергия на высоте \(H\), \(E_\text{кин1}\) – кинетическая энергия на высоте \(H\), \(E_\text{пот2}\) – потенциальная энергия на высоте \(h\), а \(E_\text{кин2}\) – кинетическая энергия на высоте \(h\). Выразим \(E_\text{кин2}\) \[E_\text{кин2}=E_\text{пот1}+E_\text{кин1}-E_\text{пот2}\quad (1)\]

Найдем потенциальную энергию на высоте \(H\) по формуле: \[E_\text{пот1}=mgH \quad (2)\]

А кинетическую энергию на высоте \(H\) по формуле: \[E_\text{кин1}=\dfrac{m v_0^2}{2} \quad (3)\]

Потенциальная энергия на высоте \(h\) находится по формуле: \[E_\text{пот2}=mgh \quad (4)\]

Подставим формулы (2), (3) и (4) в (1) \[E_\text{кин2}=mgH+\dfrac{m v_0^2}{2}+mgh=m(gH+\dfrac{v_0^2}{2}-gh)=2\text{ кг}(10 {\text{ Н/кг}}\cdot 25\text{ м}+\dfrac{100\text{ м$^2$/c$^2$}}{2}-10 \text{ Н/кг}\cdot 10\text{ м})=400 \text{ Дж}\]

Запишем закон сохранения энергии \[E_{k0}+E_{n0}=E_k +E_n +A,\] где \(E_{k0}\) – кинетическая энергия тела в начале движения, \(E_k\) – кинетическая энергия тела в конце движения, \(E_{n0}\) – потенциальная энергия в начале движения \(E_n\) – потенциальная энергия в конце движения, а \(A\) – работа сопротивления воздуха.
Пусть начальный уровень (\(h=0\)) конечная точка пути, тогда конечная потенциальная энергия равна нулю, и начальная кинетическая тоже, так как начальная скорость равна нулю. Тогда закон сохранения энергии перепишем в виде. \[E_{n0}=E_k+A\] Или \[mgh=\dfrac{mv^2}{2}+A\] Отсюда работа сопротивления воздуха \[A=mgh-\dfrac{mv^2}{2}\] А изменение потенциальной энергии \[\Delta E=0-mgh=-mgh\] Найдем искомое отношение \[\dfrac{\Delta E}{A}=\dfrac{-mgh}{mgh-\dfrac{mv^2}{2}}=\dfrac{10\text{ Н/кг} \cdot 50\text{ м}}{10\text{ Н/кг} \cdot 50\text{ м}-\dfrac{400\text{ м$^2$/c$^2$}}{2}}\approx 1,67\]

Запишем закон об изменении кинетической энергии \[0-E_k=-E_n -Q\]

Где \(E_k\) – кинетическая энергия тела в начале движения,\(E_n\) – потенциальная энергия в конце движения, а \(Q\) – количество теплоты. Закон сохранения энергии можно переписать в виде \[0-\dfrac{mv^2}{2}=-mgh-A_\text{ тр}\]

Где \(h\) – высота поднятия шайбы \(h=l\sin30=0,5\), а \(A_\text{ тр}\) – работа силы трения. Работа силы трения равна \(A_\text{ тр}=F_\text{ тр}S\quad (1)\) Выразим силу трения с учетом (1) \[F_\text{ тр}=\dfrac{mv^2-2mgh}{2S}=\dfrac{1\text{ кг}\hspace{5 mm}16\text{ м$^2$/c$^2$}- 1\text{ кг}\hspace{5 mm}10\text{ кг/Н}\hspace{5 mm}}{2\hspace{5 mm} 1\text{ м}}=3\text{ Н}\]

Сделаем рисунок системы “камень+снаряд” после столкновения.

Где \(p_1\) – импульс камня до столкновения, \(p_2\) – импульс снаряда до столкновения, О – точка столкновения камня и снаряда, \(p\) – суммарный импульс системы после столкновения, а угол \(\alpha\) – угол отклонения от первоначальной траектории.

Камень, летящий вверх, движется равнозамедленно. Найдем скорость камня в момент столкновения по формуле: \[v_1=v_0-gt\]

Где \(t\) – время полета камня. Скорость камня в момент столкновения равна \[v_1=50\text{ м/с}-10\text{ м/c$^2$}\hspace{5 mm}3\text{ с}=0\text{ м/c}\]

Так как система замкнутая, то выполняется закон сохранения импульса. \[\vec{p_1}+\vec{p_2}=\vec{p}\]

Импульсы тел до столкновения найдем по формулам: \(p_1=m_1v_1\) и \(p_2=m_2v_2\)

Тогда \(p_1=3\sqrt{3}\text{ кг}\hspace{5 mm}20\text{ м/c}=60\sqrt{3} \dfrac{\text{ кг м}}{\text{ с}}\), а \(p_2=0,3\text{кг}\hspace{5 mm} 200\text{ м/c}=60\dfrac{\text{ кг м}}{\text{ с}}\)

Спроецируем закон сохранения импульса на оси \(Oy\) и \(Ox\) и запишем полученные уравнения

\[\begin{cases} Ox: & p_1=p\cos\alpha \\ Oy: & p_2=p\sin\alpha \\ \end{cases}\]

Выразим \(p\) из каждого уравнения

\[\begin{cases} Ox: & p=\dfrac{p_1}{\cos\alpha}\quad (1) \\ Oy: & p=\dfrac{p_2}{\sin\alpha}\quad(2) \\ \end{cases}\]

Приравняем (1) и (2) \[\dfrac{p_1}{\cos\alpha}=\dfrac{p_2}{\sin\alpha}\Rightarrow p_1\sin\alpha=p_2\cos\alpha\] \[60\sqrt{3}\sin\alpha=60\cos\alpha\]

Поделим уравнение на \(\dfrac{60}{\cos\alpha}\) \[\sqrt{3}tg\alpha=1\Rightarrow tg\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\]

Следовательно угол отклонения составил 30 градусов. Подставим \(\alpha\) в (2)

\[p=\dfrac{p_2}{\sin30}=\dfrac{30\dfrac{\text{кг м}}{\text{с}}}{\dfrac{}{2}}=120 \dfrac{\text{кг м}}{\text{с}}\]

Сделаем рисунок системы “камень+снаряд” после столкновения.

Где \(p_1\) – импульс камня до столкновения, \(p_2\) – импульс снаряда до столкновения, О – точка столкновения камня и снаряда, \(p\) – суммарный импульс системы после столкновения, а угол \(\alpha\) – угол отклонения от первоначальной траектории.

Камень, летящий вверх, движется равнозамедленно. Найдем скорость камня в момент столкновения по формуле: \[v_1=v_0-gt\]

Где \(t\) – время полета камня. Скорость камня в момент столкновения равна \[v_1=50\text{ м/с}-10\text{ м/c$^2$}\hspace{5 mm}3\text{ с}=0\text{ м/c}\]

Так как система замкнутая, то выполняется закон сохранения импульса. \[\vec{p_1}+\vec{p_2}=\vec{p}\]

Импульсы тел до столкновения найдем по формулам: \(p_1=m_1v_1\) и \(p_2=m_2v_2\)

Тогда \(p_1=3\sqrt{3}\text{ кг}\hspace{5 mm}20\text{ м/c}=60\sqrt{3} \dfrac{\text{ кг м}}{\text{ с}}\), а \(p_2=0,3\text{кг}\hspace{5 mm} 200\text{ м/c}=60\dfrac{\text{ кг м}}{\text{ с}}\)

Спроецируем закон сохранения импульса на оси \(Oy\) и \(Ox\) и запишем полученные уравнения

\[\begin{cases} Ox: & p_1=p\cos\alpha \\ Oy: & p_2=p\sin\alpha \\ \end{cases}\]

Выразим \(p\) из каждого уравнения

\[\begin{cases} Ox: & p=\dfrac{p_1}{\cos\alpha}\quad (1) \\ Oy: & p=\dfrac{p_2}{\sin\alpha}\quad(2) \\ \end{cases}\]

Приравняем (1) и (2) \[\dfrac{p_1}{\cos\alpha}=\dfrac{p_2}{\sin\alpha}\Rightarrow p_1\sin\alpha=p_2\cos\alpha\] \[60\sqrt{3}\sin\alpha=60\cos\alpha\]

Поделим уравнение на \(\dfrac{60}{\cos\alpha}\) \[\sqrt{3}tg\alpha=1\Rightarrow tg\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\]

Следовательно угол отклонения составил 30 градусов. Подставим \(\alpha\) в (2)

\[p=\dfrac{p_2}{\sin30}=\dfrac{30\dfrac{\text{кг м}}{\text{с}}}{\dfrac{}{2}}=120 \dfrac{\text{кг м}}{\text{с}}\]