Термодинамика
При сжатии идеального одноатомного газа при постоянном давлении внешние силы совершили работу 2000 Дж. Какое количество теплоты было передано при этом газом окружающим телам?
“Демоверсия 2018”
Работа над газом при постоянном давлении равна: \[A=p\Delta V=\nu R \Delta T\] изменение внутренней энергии составит: \[\Delta U =\dfrac{3}{2}\nu R \Delta T\] По первому закону термодинамики \[|Q|=|\Delta U +A|=\dfrac{5}{2}\nu R \Delta T = 2,5A=5000\text{ Дж}\]
Тепловая машина с максимально возможным КПД имеет в качестве нагревателя резервуар с водой, а в качестве холодильника – сосуд со льдом при 0 \(^\circ С\). При совершении машиной работы 1 МДж растаяло 12,1 кг льда. Определите температуру воды в резервуаре. Ответ дайте в кельвинах и округлите до целых.
“Демоверсия 2019”
При таянии лёд получил \(Q_x=12,1\text{ кг}\cdot 3,3\cdot 10^5\text{ Дж/кг}=3,993\) МДж. КПД тепловой машины равен \(\eta= \dfrac{A}{A+Q_x}\) или \(\eta = 1=\dfrac{T_x}{T_\text{ н}}\) Таким образом \[T_{\text{ н}}=\dfrac{T_x}{1-\eta}=T_x\left(1+\dfrac{1}{3,993}\right)\approx 341\text{ К}\]
Тепловая машина с максимально возможным КПД имеет в качестве нагревателя резервуар с водой, а в качестве холодильника — сосуд со льдом при 0 \(^{\circ}\)С. При совершении машиной работы 2 МДж растаяло 12,1 кг льда. Определите температуру воды в резервуаре. Ответ дайте в кельвинах и округлите до целых.
Найдем количество теплоты, которое понадобилось, чтобы растопить лед: \[Q=\lambda m\] где \(m\) — масса льда, \(\lambda\) — удельная теплота плавления льда. \[Q =12,1\text{ кг}\cdot3,3\cdot10^5\text{ Дж/кг}=3,993 \text{ МДж}\] Это количество теплоты, которое ушло холодильнику.
Для тепловых машин справедлива следующая формула: \[Q_{\text{н}}=A+Q_{\text{х}}\] где \(Q_{\text{н}}\) — количество теплоты, полученное от нагревателя, \(A\) — работа машины, \(Q_{\text{х}}\) — количество теплоты, отданное холодильнику.
КПД цикла: \[\eta=1-\dfrac{T_{\text{х}}}{T_{\text{н}}}=1-\dfrac{Q_{\text{х}}}{Q_{\text{н}}}\] где \(T_\text{н}\) — температура нагревателя, \(T_\text{х}\) — температура холодильника.
Выразим температуру нагревателя: \[T_{\text{н}}=T_{\text{х}}\cdot\dfrac{Q_{\text{н}}}{Q_{\text{х}}}=T_{\text{х}}\cdot\dfrac{A+Q_{\text{х}}}{Q_{\text{х}}}\] \[T_\text{н}=273\text{ К}\cdot\dfrac{(2\text{ Дж}+3,993\text{ Дж})\cdot10^6}{3,993\text{ Дж}\cdot10^6}\approx410 \text{ К}\]
КПД тепловой машины 50\(\%\). За \(t\) = 20 с рабочему телу машины поступает от нагревателя \(Q\) = 3 кДж теплоты. Чему равна средняя полезная мощность машины? Ответ приведите в ваттах.
КПД находится по формуле: \[\eta=\dfrac{A}{Q}\cdot100\%\] где \(A\) — работа цикла. Выразим отсюда работу: \[\; \; \; \; A=\dfrac{\eta }{100\%}\cdot Q \; \; \; \; (1)\] Мощность можно найти по формуле: \[\; \; \; \; N=\dfrac{A}{t} \; \; \; \; (2)\] Подставив (1) в (2), получим: \[N=\dfrac{\eta }{ 100\%}\cdot\dfrac{Q}{t}\] \[N = \dfrac{50\%\cdot 3\cdot10^3\text{ Дж}}{100\%\cdot20\text{ с}}= 75 \text{ Вт}\]
Тепловая машина работает по циклу Карно, получая за один цикл от нагревателя \(Q_\text{н}\) = 10 кДж теплоты и отдавая холодильнику \(Q_\text{х}\) = 5 кДж теплоты. Температура холодильника \(T_\text{х}\) = 300 К. Чему равна температура нагревателя? Ответ дайте в градусах Кельвина.
КПД для тепловой машины можно найти по 2 формулам: \[\eta=1-\dfrac{Q_\text{х}}{Q_\text{н}}\hspace{5 cm}\eta=1-\dfrac{T_\text{х}}{T_\text{н}}\] Приравняем их и выразим температуру нагревателя: \[T_\text{н}=T_\text{х}\cdot\dfrac{Q_\text{н}}{Q_\text{х}}\] \[T_\text{н}=300\text{ К}\cdot\dfrac{10\text{ кДж}}{5\text{ кДж}}=600\text{ К}\]
Идеальному одноатомному газу сообщили количество теплоты 50 кДж. При этом он изобарно расширился на 0,1 м\(^3\). Каково давление газа? Масса газа постоянна. Ответ дайте в кПа.
По первому началу термодинамики \[Q=\Delta U+A,\quad (1)\] где \(Q\) – количество теплоты, полученное газом, \(A\) – работа газа, \(\Delta U\) – изменение внутренней энергии газа. Работа газа находится по формуле: \[A=p\Delta V,\quad (2)\] где \(p\) – давление газа, \(\Delta V\) – изменение объема газа.
А изменение внутренней энергии равно \[\Delta U =\dfrac{3}{2}A=\dfrac{3}{2}p\Delta V \quad (3)\] Объединим (1), (2) и (3) и выразим давление \[p=\dfrac{2Q}{5\Delta V}=\dfrac{2\cdot 50\text{ кДж}}{5\cdot 0,1\text{ м$^3$}}=200\text{ кПа}\]
При изобарном расширении идеального одноатомного газа его объём увеличился на 5 м\(^3\), а внутренняя энергия увеличилась на 12 кДж. Определите работу газа при расширении. Ответ дайте в кДж.
Изменение внутренней энергии равно \[\Delta U =\dfrac{3}{2}A,\] где \(A\) – работа газа, \(\Delta U\) – изменение внутренней энергии газа.
Откуда работа газа \[A=\dfrac{2}{3}\Delta U=8\text{ кДж}\]
