Тепловые явления

Пусть масса болта \(M\), а масса воды \(m\), тогда уравнение теплового баланса примет вид \[0,2 m \lambda=cM(t_0-t),\] где \(\lambda\) – удельная теплота плавления льда, \(c\) – удельная теплоемкость болта, \(t\) – начальная температура болта.
Откуда масса воды \[m=\dfrac{cM(t_0-t)}{0,2\lambda}=\dfrac{500\text{ Дж/(кг$ \cdot$ К)}\cdot 0,165\text{ кг}\cdot 40\text{ К}}{0,2\cdot 3,3\cdot 10^5\text{ Дж/кг}}=0,05\text{ кг}\]

Сначала свинец нагрелся до температуры плавления, в результате чего ему передалось количество теплоты \[Q_1=cm(t_1-t_0),\] где \(c\) – теплоёмкость свинца, \(m\) – масса свинца, \(t_0\) и \(t_1\) – начальная и конечная температура свинца.
Потом свинец начал плавится, в результате чего он потратил оставшееся количество теплоты, равное \[Q_2=L\Delta m,\] где \(L\) – удельная теплота плавления свинца, \(\Delta m\) – масса расплавившейся части свинца
По условию \[Q_1+Q_2=Q=46,4\text{ кДж}\] Откуда масса расплавишейся части \[\Delta m=\dfrac{Q-cm(t_1-t_0)}{L}=\dfrac{46,4\text{ кДж}-130\text{ Дж/кг$\cdot^\circ C$}\cdot 1 \text{ кг}(327^\circ C-47^\circ C)}{2,5\cdot 10^4 \text{ Дж/кг}}=0,4\text{ кг}\]

Масса воды перестанет увеличиваться, когда температура воды достигнет 100 \(^\circ C\). Вода нагревается за счёт тепловой энергии конденсации водяного пара: \[Q=Lm_n\] Составив уравнение теплового баланса \[cm_\text{ в}\Delta t= Lm_n\] Откуда масса пара: \[m_n=\dfrac{cm_\text{ в}\Delta t}{L}=\dfrac{4200\text{ Дж/(кг$\cdot ^\circ C$ )}230\text{ г}}{2,3\cdot 10^6 \text{ Дж/кг}} = 42\text{ г}\]

Количество теплоты, которое необходимо для плавления льда: \[Q_1=\lambda m\] где \(m\) — масса льда.
Количество теплоты, которое необходимо для нагревания воды от 0 \(^{\circ}\)С до 20 \(^{\circ}\)С: \[Q_2=cm\Delta t\] где \(c\) — удельная теплоемкость воды.
По условию известно, что: \[Q_1+Q_2=100 \text{ кДж}\] Выразим массу льда: \[m=\dfrac{Q_1+Q_2}{c\Delta t+\lambda}\] \[m = \dfrac{100\cdot10^3\text{ Дж}}{4200\text{ Дж/(кг$\cdot$К)}\cdot20\text{ К}+3,3\cdot10^5\text{ Дж/кг}}\approx0,242 \text{ кг}\] Теперь рассмотрим процесс, когда лед получит от нагревателя 50 кДж: \[Q=\lambda m=3,3\cdot10^5\text{ Дж/кг}\cdot0,242\text{ кг}=79860 \text{ Дж}\approx 80\text{ кДж}\] Таким образом, количества теплоты, которое система получит от нагревателя не хватит, чтобы польностью расплавить лед, значит, температура будет равна 0 \(^{\circ}\)С.

Чтоба лед нагреть до 5 \(^\circ\)С, его нужно сначала расплавить, а затем нагреть получившуюся воду до 5\(^\circ\)С, тогда количество теплоты, которое потребуется в этом процессе равно: \[Q=Q_1+Q_2\] \[\; \; \; \; Q =\lambda m + cm(t-t_o)\; \; \; \; (1)\] где \(\lambda\) — удельная теплота плавления льда, \(m\) — масса льда, \(c\) — удельная теплоемкость воды, \(t\) и \(t_o\) — конечная и начальная температура соответственно.
Выразим отсюда массу льда и найдем её: \[m=\dfrac{Q}{\lambda+c(t-t_o)}\] \[m =\dfrac{175500\text{ Дж}}{330000\text{ Дж/кг}+4200\text{ Дж/(кг$\cdot$К)}\cdot5\text{ К}}=0,5\text{ кг}\] Теперь рассмотрим процесс, когда лед получит от нагревателя 70 кДж: \[Q=\lambda m=3,3\cdot10^5\text{ Дж/кг}\cdot0,5\text{ кг}= 165000 \text{ Дж}= 165\text{ кДж}\] Таким образом, количества теплоты, которое система получит от нагревателя хватит, чтобы польностью расплавить лед, значит, температура будет равна 0 \(^{\circ}\)С.

Количество теплоты, которое подводили к телу, находится по формуле: \[Q=cm\Delta t,\] где \(\Delta t\) — изменение температуры.
Выразим отсюда массу тела: \[m=\dfrac{Q}{c\Delta t}\] Для свинцового и медного шарика имеем: \[m_{Pb}=\dfrac{Q}{c_{Pb}\Delta t} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; m_{Cu}=\dfrac{Q}{c_{Cu}\Delta t}\] Найдем отношение их масс: \[\dfrac{m_{Pb}}{m_{Cu}}=\dfrac{\dfrac{Q}{c_{Pb}\Delta t}}{\dfrac{Q}{c_{Cu}\Delta t}}=\dfrac{c_{Cu}}{c_{Pb}}\] \[\dfrac{m_{Pb}}{m_{Cu}} =\dfrac{380\text{ Дж/(кг$\cdot$К)}}{130 \text{ Дж/(кг$\cdot$К)}}\approx 3\]

После установления теплового равновесия температура воды в кастрюле составит \(t\).
Вода получит количество теплоты, равное: \[Q_1=cm_1(t-t_1)\] Кипяток отдаст количество теплоты, равное: \[Q_2=cm_2(t_2-t)\] где \(Q_2\) и \(Q_1\) — количество теплоты, отданное кипятком и полученное водой соответственно, \(c\) — удельная теплоемкость воды.
Так как теплообменом с окружающей средой и теплоемкостью кастрюли пренебрегаем, то можно считать, что отданное количество теплоты равно принятому количеству теплоты.
Приравняем эти два уравнения: \[cm_1(t-t_1)=cm_2(t_2 -t)\] Выразим отсюда температуру воды \(t\) после установления теплового равновесия: \[t=\dfrac{c(m_1t_1+m_2t_2)}{c(m_1+m_2)} = \dfrac{m_1t_1+m_2t_2}{m_1+m_2}\] \[=\dfrac{5\text{ кг}\cdot25^\circ\text{С}+ 3\text{ кг}\cdot100^\circ\text{С}}{5\text{ кг}+3\text{ кг}}=53,125^\circ\text{С}\]