Сила трения (страница 2)

Чтобы ответить на этот вопрос, надо узнать, покоится тело или нет? Для этого рассмотрим момент, когда угол наклона равен критичскому \(\alpha=\alpha_{\text{кр}}\), при котором тело только-только начинает скользить. По второму закону Ньютона: \[\vec{F_{\text{тр}}} +m\vec{g} + \vec{N} = m\vec{a}\] Спроецируем уравнение на оси Ох и Оу: \[Ox: F_{\text{тр}}- mg\sin{\alpha_{\text{кр}}}=0 \Rightarrow F_{\text{тр}}= mg\sin{\alpha_{\text{кр}}}\] \[Oy: N-mg\cos{\alpha_{\text{кр}}} = 0\Rightarrow N=mg\cos{\alpha_{\text{кр}}}\] По определению сила трения скольжения равна: \[F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg\cos{\alpha_{\text{кр}}}\] \[mg\sin{\alpha_{\text{кр}}} = \mu mg\cos{\alpha_{\text{кр}}}\] Отсюда: \[\mu\cos{\alpha_{\text{кр}}} = \sin{\alpha_{\text{кр}}}\Rightarrow \mu = tg{\alpha_{\text{кр}}}\] Так как \(\alpha_{\text{кр}}\) – угол, при котором тело начинает скользить, а \(tg{\alpha}\) – возастающая функцию на промежутке (0;\(\dfrac{\pi}{2}\)), то для \(\alpha < \alpha_{\text{кр}}\):
если \(\mu < tg{\alpha}\), то тело начнёт скользить;
если \(\mu > tg{\alpha}\), то тело будет покоиться.
Сравним данное значение \(\mu\) с тангенсом наклона: \[0,4 < tg{30^{\circ}} \approx 0,6 \Rightarrow \text{тело скользит}\] Значит, нужная сила – сила трения скольжения, которую можно найти через силу реакции опоры: \[F_{\text{тр}} = \mu N =\mu mg\cos{\alpha}\] \[F_{\text{тр}} = 0,4\cdot 10\text{ кг}\cdot 10\text{ м/с$^2$}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\] \[F_{\text{тр}} \approx 34,6\text{ H }\]

Рассмотрим все силы, действующие на шайбу:
По второму закону Ньютона: \[\vec{F_{\text{тр}}} +m\vec{g} + \vec{N} = m\vec{a}\] Спроецируем уравнение на оси Ох и Оу: \[Ox: mg\sin{\alpha} - F_{\text{тр}}=ma\] \[Oy: N-mg\cos{\alpha} = 0\Rightarrow N=mg\cos{\alpha}\] По определению сила трения скольжения равна: \[F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg\cos{\alpha}\] Значит: \[mg\sin{\alpha} - \mu mg\cos{\alpha}=ma\] \[g(\sin{\alpha} - \mu \cos{\alpha})=a\] Коэффициент трения \(\mu\) можно найти из условия соскальзывания тела. Так как тело только начинает скользить, то ускорения у тела нет, значит, проекция уравнения второго закона Ньютона на ось Ох будет выглядеть так: \[Ox: mg\sin{\alpha_{\text{кр}}} - F_{\text{тр}}=0 \Rightarrow F_{\text{тр}}= mg\sin{\alpha_{\text{кр}}}\] где \(\alpha_{\text{кр}} = 30^{\circ}\) \[F_{\text{тр}} = mg\sin{\alpha_{\text{кр}}} =\mu N = \mu mg\cos{\alpha}\] Отсюда: \[\mu\cos{\alpha_{\text{кр}}} = \sin{\alpha_{\text{кр}}}\Rightarrow \mu = tg{\alpha_{\text{кр}}}\] Подставив это значение в уравнение ускорения, получим: \[a = g(\sin{\alpha} - tg{\alpha_{\text{кр}}}\cdot\cos{\alpha} )\] Запишем уравнение кинематики: \[S = \frac{h}{\sin{\alpha}} = \frac{at^2}{2}\] где S – пройденный путь
Отсюда: \[h = \frac{at^2}{2}\cdot\sin{\alpha} = \frac{g(\sin{\alpha} - tg{\alpha_{\text{кр}}}\cdot\cos{\alpha})\cdot t^2}{2}\cdot\sin{\alpha}\] \[h = \frac{10\text{ м/с$^2$}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\cdot4\text{ c$^2$}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[h=10\cdot\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{3}\right)\text{ м} \approx 4,2\text{ м }\]

На рисунке изображены силы, приложенные к бруску (левый рисунок) и к доске (правый рисунок):
Так как брусок покоится на доске, то ускорения доски и бруска равны \(a_1=a_2=a\). Запишем второй закон Ньютона для бруска: \[\vec{N_1}+\vec{F_{\text{тр}}}+m\vec{g} = m\vec{a}\] Спроецируем на оси Ох и Оу: \[Oy: N_1 - mg = 0\] \[Ox: F_{\text{тр}} = ma\] Рассмотрим критический момент, когда ускорение равно максимальному, тогда брусок ещё не скользит, но сила трения покоя равна силе трения скольжения, тогда: \[F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg\] Подставив это в уравнение проекции второго закона Ньютона на ось Ох, получим: \[\mu mg = ma \Rightarrow a= \mu g\] Теперь запишем второй закон Ньютона для системы “доска + брусок”: \[\vec{N_1}+\vec{F_{\text{тр1}}}+m\vec{g} - \vec{N_1} - \vec{F_{\text{тр1}}}+M\vec{g} + \vec{F} + \vec{N_2}= (m+M)\vec{a}\] \[m\vec{g} + M\vec{g} + \vec{F} +\vec{N_2} = (m+M)\vec{a}\] Спроецировав это на ось Ох, получим: \[F =(m+M)a = (m+M)\mu g\] \[F = (3+15)\text{ кг}\cdot 0,4 \cdot 10\text{ м/с$^2$} = 72\text{ H }\]

Рассмотрим силы, действующие на тело
По втором закону Ньютона: \[\vec{F} + \vec{N} + m\vec{g} +\vec{F}_{\text{тр1}} = m\vec{a}\] где m – масса тела, а – его ускорение.
Спроецируем это уравнение на вертикальную ось: \[N - mg = 0 \Rightarrow N=mg\]
По определению сила трения скольжения равна: \[F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg\] где \(\mu\) – коэффициент трения.
Видно, что сила трения скольжения напрямую зависит от массы тела, значит, если мы уменьшим массу в два раза, то и сила трения скольжения уменьшится в два раза.

По определению сила трения скольжения равна: \[F_{\text{ск}} = \mu N\] где N – сила реакции опоры.
Рассмотрим силы, действующие на тело:
По второму закону Ньютона: \[\vec{F_{\text{ск}}} +\vec{F}+m\vec{g} + \vec{N} = m\vec{a}\] Проекция сил на ось Оy: \[N-mg=0\Rightarrow N=mg\] Отсюда: \[F_{\text{ск}} = \mu mg = 0,5\cdot 10\text{ кг} \cdot 10\text{ м/с$^2$} = 50\text{ H }\] Но тогда получается, что \(F_\text{ск} > F\), и если мы будем тянуть влево, то тело поедет вправо, что физически невозможно. Можно сделать вывод, что данной силы недостаточно, чтобы сдвинуть тело с места, и сила трения равна силе трения покоя, которая равна силе, с которой мы тянем: \[F_{\text{тр}}=F_{\text{покоя}} = F = 30\text{ Н }\]

Сила трения: \[F=\mu N\] Откуда коэффициент трени: \[\mu=\dfrac{F}{N}=\dfrac{1,5\text{ Н}}{12\text{ Н}}=0,125\]

Запишем второй закон Ньютона на оси, с учетом того, что сила трения равна \(F_{\text{ тр}}=\mu N\). \[\begin{cases} F-F_{\text{ тр}}=0 \Leftrightarrow F=\mu N\\ N=mg\\ \end{cases}\] Из системы \[F=\mu mg \Rightarrow m =\dfrac{F}{\mu g}=\dfrac{35\text{ Н}}{0,25\cdot 10\text{ Н/кг}}=14\text{ кг}\] Где \(F\) – сила, с которой тянут ящик, \(N\) – сила реакции опоры стола, \(\mu\) – коэффициент трения.