Электростатика (страница 2)
Закон сохранения электрического заряда
В замкнутой системе тел алгебраическая сумма зарядов остается неизменной при любых процессах, происходящих с этими телами:
\[q_1+q_2+...+q_n=const\]
Закон Кулона в вакууме
Сила взаимодействия двух неподвижных точечный зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению абсолютных величин зарядов \(q_1\) и \(q_2\) и обратно пропорциональна квадрату расстояния \(r\) между ними.
\[F=k\dfrac{q_1q_2}{r^2}\]
Где \(k=9\cdot 10^9\) — коэффициент пропорциональности в законе Кулона.
\[k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\]
\(\varepsilon_0=8,85\cdot10^{-12}\ \dfrac{\text{Ф}}{\text{м}}\) — электрическая постоянная.
Закон Кулона в диэлектрике
\[F=k\dfrac{q_1q_2}{\varepsilon r^2}\]
Напряженность электрического поля — это отношение вектора силы \(\vec{F}\), с которой поле действует на пробный заряд \(q\), к самому пробному заряду с учетом его знака.
\[\vec{E}=\dfrac{\vec{F}}{q}\]
Единицы измерения: \(\displaystyle \Big[\dfrac{\text{В}}{\text{м}}\Big]\) (вольт на метр).
Линии напряженности всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных.
Напряженность электростатического поля точечного заряда Q в точке A, удаленной на расстояние \(r\) от заряда \(Q\), определяется формулой:
\[E=\dfrac{k\cdot |Q|}{r^2}\]
Напряженность заряженной бесконечной пластины где \(\sigma\):
\[E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\]
Принцип суперпозиции полей
Пусть заряды \(\displaystyle q_1, q_2, q_3,... , q_n\) по отдельности создают в данной точке поля \(\vec{E}_1\), \(\vec{E}_2\),...,\(\vec{E}_n\). Тогда система этих зарядов создает в данной точке поле \(\vec{E}\), равное векторной сумме напряженностей полей отдельных зарядов.
\[\vec{E}=\vec{E}_1+\vec{E}_2+...+\vec{E}_n\]
Физическую величину, равную отношению потенциальной энергии электрического заряда в электростатическом поле к величине этого заряда, называют \(\varphi\) электрического поля:
\[\varphi=\dfrac{W_p}{q}\]
Единицы измерения: \(\displaystyle [\text{В}]\) (Вольт).
Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю.
Работа поля по перемещению заряда:
\[A_{\text{эл}}=q(\varphi_1-\varphi_2)=qU\]
Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется .
Электроемкостью системы из двух проводников называется физическая величина, определяемая как отношение заряда \(q\) одного из проводников к разности потенциалов \(\Delta \varphi\) между ними:
\[C=\dfrac{q}{\Delta \varphi}\]
Единицы измерения: \(\displaystyle [\text{Ф}]\) (фарад).
Плоский конденсатор — система из двух плоских проводящих пластин, расположенных параллельно друг другу на малом по сравнению с размерами пластин расстоянии и разделенных слоем диэлектрика.
Электроемкость плоского конденсатора
\[C=\dfrac{\varepsilon_0S}{d}\]
Таким образом, электроемкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин (обкладок) и обратно пропорциональна расстоянию между ними. Если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, электроемкость конденсатора увеличивается в \(\varepsilon\) раз:
\[C=\dfrac{\varepsilon_0\varepsilon S}{d}\]
Последовательное соединение конденсаторов
\[U=U_1+U_2\]
\[q=q_1=q_2\]
\[\dfrac{1}{C}=\dfrac{1}{C_1}+\dfrac{1}{C_2}\]
Параллельное соединение конденсаторов
\[U=U_1=U_2\]
\[q=q_1+q_2\]
\[C=C_1+C_2\]
Энергия заряженного конденсатора
\[W=\dfrac{q^2}{2C}=\dfrac{qU}{2}=\dfrac{CU^2}{2}\]
Модуль силы взаимодействия между двумя неподвижными точечными зарядами равен \(F\). Чему станет равен модуль этой силы, если увеличить заряд одного тела в 4 раза, а второго — в 2 раза? Ответ дайте как \(\dfrac{1}{F}\).
Сила Кулона для первого случая: \[F_1=F=\dfrac{k\cdot| q_1|\cdot |q_2|}{r^2}\] где \(k\) — коэффициент пропорциональности, \(q_1\) и \(q_2\) — заряды, \(r\) — расстояние между зарядами.
Тогда для второго случая сила Кулона равна: \[F_2=\dfrac{k\cdot4|q_1|\cdot 2|q_2|}{r^2}=\dfrac{8\cdot k \cdot |q_1|\cdot |q_2|}{r^2}=8F_1=8F\] Следовательно, сила увеличится в 8 раз.
Расстояние между двумя точечными электрическими зарядами увеличили в 2 раза, и один из зарядов уменьшили в 4 раза. Во сколько раз уменьшится сил взаимодействия между зарядами?
Сила Кулона для первого случая: \[F_1=\frac{k\cdot| q_1|\cdot| q_2|}{r^2}\] где \(k\) — коэффициент пропорциональности, \(q_1\) и \(q_2\) — заряды, \(r\) — расстояние между зарядами.
Тогда для второго случая сила Кулона: \[F_2=\dfrac{k\cdot \dfrac{1}{2} \cdot| q_1|\cdot | q_2|}{(2r)^2}=\dfrac{k\cdot|q_1|\cdot|q_2|}{16r^2}\] \[F_2=\dfrac{F_1}{16}\] Следовательно, сила уменьшится в 16 раз.
Расстояние между двумя точечными электрическими зарядами уменьшили в 2 раза, и один из зарядов увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличится сила взаимодействия между зарядами?
Сила Кулона для первого случая равна: \[F_1=\dfrac{k\cdot | q_1|\cdot| q_2|}{r^2}\] где \(k\) — коэффициент пропорциональности, \(q_1\) и \(q_2\) — заряды, \(r\) — расстояние между зарядами.
Тогда для второго случая сила Кулона равна: \[F_2=\dfrac{k\cdot 3|q_1|\cdot| q_2|}{\left(\dfrac{r}{2}\right)^2}=\dfrac{12\cdot k\cdot|q_1|\cdot|q_2|}{r^2}\] \[F_2 = 12F_1\] Следовательно, сила увеличится в 12 раз.
Два точечных заряда находятся в вакууме на расстоянии 0,03 м друг от друга. Если их поместить в жидкий диэлектрик и увеличить расстояние между ними на 3 см, то сила взаимодействия зарядов уменьшится в 8 раз. Найдите диэлектрическую проницаемость диэлектрика.
Сила Кулона для первого случая равна: \[\; \; \; \; F_1=\dfrac{ 1}{4\pi \varepsilon_o}\cdot\dfrac{|q_1||q_2|}{r^2} \; \; \; \; (1)\] Во втором случае расстояние между точечными зарядами увеличилось на 3 см и стало равным 6 см, то есть увеличилось в два раза.
Сила Кулона для второго случая равна: \[\; \; \; \; F_2=\dfrac{ 1}{4\pi \varepsilon \varepsilon_o}\cdot\dfrac{|q_1||q_2|}{(2r)^2} = \dfrac{1}{8}F_1\; \; \; \; (2)\] где \(\varepsilon\) — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, \(\varepsilon_o\) — диэлектрическая постоянная, \(q_1\) и \(q_2\) — заряды, \(r\) — расстояние между зарядами.
Подставим (2) в (1) и выразим диэлектрическую проницаемость диэлектрика: \[\dfrac{ 1}{4\pi \varepsilon \varepsilon_o}\cdot\dfrac{|q_1||q_2|}{4r^2} = \dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{ 1}{4\pi \varepsilon_o}\cdot\dfrac{|q_1||q_2|}{r^2}\] \[\varepsilon = 2\]
Два точечных заряда взаимодействуют в вакууме на расстоянии 10 см с такой же силой, как в диэлектрике на расстоянии 5 см. Определите диэлектрическую проницаемость диэлектрика.
Сила Кулона для первого случая равна: \[\; \; \; \; F_1=\dfrac{ 1}{4\pi \varepsilon_o}\cdot\dfrac{|q_1||q_2|}{r^2} \; \; \; \; (1)\] Во втором случае расстояние между точечными зарядами стало равным 5 см, то есть уменьшилось в два раза.
Сила Кулона для второго случая равна: \[\; \; \; \; F_2=\dfrac{ 1}{4\pi \varepsilon \varepsilon_o}\cdot\dfrac{|q_1||q_2|}{\left(\dfrac{r}{2}\right)^2} \; \; \; \; (2)\] где \(\varepsilon\) — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, \(\varepsilon_o\) — диэлектрическая постоянная, \(q_1\) и \(q_2\) — заряды, \(r\) — расстояние между зарядами.
По условию (1) равно (2). Выразим диэлектрическую проницаемость диэлектрика: \[\dfrac{ 1}{4\pi \varepsilon \varepsilon_o}\cdot\dfrac{4\cdot|q_1||q_2|}{r^2} = \dfrac{ 1}{4\pi \varepsilon_o}\cdot\dfrac{|q_1||q_2|}{r^2}\] \[\varepsilon = 4\]
Два одинаковых проводящих шарика, обладающих зарядами 80 нКл и 20 нКл, находятся на некотором расстоянии друг от друга. Их приводят в соприкосновение и разводят на прежнее расстояние. На сколько процентов увеличится в результате сила взаимодействия?
Сила взаимодействия зарядов — сила Кулона, которая равна: \[\; \; \; F_\text{К}=\dfrac{ 1}{4\pi \varepsilon \varepsilon_o}\cdot\dfrac{|q_1||q_2|}{r^2} \; \; \; \; \; (1)\] где \(\varepsilon\) — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, \(\varepsilon_o\) — электрическая постоянная, \(q_1\) и \(q_2\) — заряды первого и второго шарика, \(r\) — расстояние между шариками.
По закону сохранения заряда: \[q_1+q_2=2q \; \; \; \Rightarrow \; \; \; q = \dfrac{q_1+q_2}{2}\] \[\; \; \; \; \; q= \dfrac{80\text{ нКл}+20\text{ нКл}}{2} =50 \text{ нКл} \; \; \; \; \; (2)\] Из формулы (1) видно, что сила Кулона прямо пропорциональна произведению модулей зарядов.
Поэтому отношение модуля силы Кулона до приведения шариков в соприкосновение к модулю силы Кулона после равно отношению произведению модулей зарядов шариков до взаимодействия к произведению модулей зарядов шариков после соприкосновения.
Найдем произведение модулей зарядов до их взаимодействия: \[|q_1|\cdot|q_2|= 80\text{ нКл}\cdot20\text{ нКл} = 1600\] С учетом (2) найдем произведение модулей зарядов после их взаимодействия: \[|q|\cdot|q|= 50\text{ нКл}\cdot50\text{ нКл} = 2500\] Найдем, на сколько процентов увеличится в результате сила взаимодействия: \[\dfrac{|q|\cdot|q|}{|q_1|\cdot|q_2|}=\dfrac{2500}{1600}=1,5625\] Следовательно, сила взаимодействия увеличится на 56,25%
Какую работу совершает электростатическое поле при перемещении заряда 2 нКл из одной точки поля в другую, если разность потенциалов между ними равна 1000 В? (Ответ дайте в мкДж)
Разность потенциалов есть напряжение. Напряжение — это работа по перемещению заряда: \[U=\dfrac{A}{q}\; \; \; \Rightarrow \; \; \; A = qU\] \[A=q(\varphi_1-\varphi_2)\] где \(q\) — заряд, \(\varphi_1-\varphi_2\) — разность потенциалов или напряжение. \[A=2\cdot10^{-9}\text{ Кл}\cdot1000\text{ В}=2 \text{ мкДж}\]
