Потенциальная энергия силы тяжести
Тело переместили вдоль наклонной плоскости с углом \(\alpha = 30^{\circ}\) вверх. Длина наклонной поверхности равна \(L=10\) м. Масса тела \(m=400\) г. Чему равна работа силы тяжести? Нулём потенциальной энергии считать уровень, на котором тело было изначально.
Переведём данные в СИ: \(m=400\) г = 0,4 кг.
Так как наклонная плоскость — это прямоугольный треугольник, то её высоту можно найти через отношение: \[\sin{\alpha} = \frac{h}{L} \Rightarrow h = L\cdot \sin{\alpha}\] \[h =10\text{ м}\cdot \frac{1}{2} = 5\text{ м}\] Работу силы тяжести можно найти как разность потенциальных энергий в состояниях (1) и (2): \[A_{mg} =- \Delta E_{п} = 0 -mgh= -mgh = -0,4\text{ кг}\cdot 10\text{ м/с$^2$}\cdot 5\text{ м} = -20\text{ Дж }\]
Мяч массой \(m=100\) г сбросили с балкона без начальной скорости. Время падения составило \(t=3\) с. Какой потенциальной энергий обладал мяч через \(\tau=2\) с после начала движения? На поверхности земли потенциальная энергия равна 0. Сопротивлением воздуха пренебречь.
Переведём данные в СИ: \(m=100\) г = 0,1 кг.
Высоту всего полёта можно найти по формуле: \[H = \frac{gt^2}{2}\] Расстояние, пройденное за время \(\tau\) можно найти так: \[H-h =\frac{g\tau^2}{2}\] Подставив первое уравнение во второе, получим: \[\frac{gt^2}{2} -h = \frac{g\tau^2}{2} \Rightarrow\] \[h = \frac{gt^2}{2} - \frac{g\tau^2}{2}\] \[h = \frac{g\cdot(t^2 - \tau^2)}{2}\] Потенциальная энергия равна: \[E_{\text{п}} = mgh = mg\cdot \frac{g\cdot(t^2 - \tau^2)}{2} = \frac{mg^2(t^2 - \tau^2)}{2}\] \[E_{\text{п}} = \frac{0,1\text{ кг}\cdot 10^2\text{ (м/с$^2$)$^2$}\cdot(9-4)\text{ c$^2$}}{2} = 25\text{ Дж }\]
Тело находится в свободном падении \(t=5\) с. Начальная скорость равна 0. Чему равна работа силы тяжести за время падения? Масса тела \(m=3,5\) кг. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ноль потенциальной энергии — поверхность земли.
Если тело бросили без начальной скорости, то высоту, с которой оно летит, можно посчитать по формуле: \[H = \frac{gt^2}{2}\] Работу силы тяжести можно найти как разность потенциальных энергий до падения и в момент соударения с землёй. \[A_{mg} =E_{п} = mgH - 0 = mgH\] \[A_{mg} = mg\cdot\frac{gt^2}{2} =\frac{mg^2t^2}{2}= \frac{3,5\text{ кг}\cdot 10^2\text{ (м/с$^2$)$^2$}\cdot 25\text{ c$^2$}}{2} = 4375 \text{ Дж }\]
Какую минимальную работу надо совершить, чтобы доску массой \(m=10\) кг длинной \(l=3\) м из горизонтального положения перевести в вертикальное?
Так как доска однородная, то можно представить, что вся масса доски находится в её центре масс (середина доски). Так как мы поднимаем центр масс, то работа, совершённая нами, по модулю равна работе силы тяжести, которую можно найти через разность потенциальных энергий: \[A = A_{mg} = |E_{\text{п}}| = mg\dfrac{l}{2} -0 = mg\dfrac{l}{2} = 10\text{ кг}\cdot 10\text{ м/с$^2$}\cdot 3\text{ м} = 150\text{ Дж}\]
Какой потенциальной энергией обладает тело массой 12 кг на высоте 4 м? На поверхности земли потенциальная энергия равна 0.
Потенциальную энергию тела массой m, которое находится на высоте h надо нулём потенциальной энергии можно найти по формуле: \[E_{\text{п}} = mgh = 12\text{ кг}\cdot 10\text{ м/с$^2$} \cdot 4\text{ м} = 480\text{ Дж }\]
Однородная тонкая металлическая цепь длинной \(l=7\) м лежит на горизонтальном столе. Линейная плотность цепи равна \(\sigma = 0,5\) кг/м. Чему равна потенциальная энергия цепи, если ее поднять за один конец вертикально таким образом, чтобы нижний конец находился на высоте, равной длине цепи? На поверхности земли потенциальная энергия равна 0.
Так как цепь однородная, то можно представить, что вся масса сосредоточена в её центре масс, таким образом потенциальная энергия цепи будет равна потенциальной энергии центра масс. По определению потенциальная энергия тела, поднятого на высоту \(h\) над нулём потенциальной энергии, равна: \[E_{\text{п}} = mgh\] где m – масса тела.
Массу данной цепи можно найти по формуле: \[m = \sigma l\] Так как тело однородное, то центр масс находится в центре цепи, следовательно, высота \(h\) равна: \[h = l+\frac{l}{2} = \frac{3}{2}l\] Теперь можно найти потенциальную энергию цепи: \[E_{\text{п}} = \sigma lg\cdot \frac{3}{2}l = \frac{3}{2}\sigma l^2g\] \[E_{\text{п}} = \frac{3}{2}\cdot 0,5 \text{ кг/м}\cdot 49\text{ м$^2$}\cdot 10\text{ м/с$^2$} = 367,5\text{ Дж }\]
