Закон сохранения импульса
Закон сохранения импульса
Импульс замкнутой системы, состоящей из \(n\), тел остается постоянным с течением времени при любых взаимодействиях тел внутри данной системы
\[\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\vec{p}_i=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}m_i\vec{v}_i=const\]
Охотник, стоящий на гладком льду, стреляет из ружья. Масса заряда \(0,05 \ \text{кг} \). Скорость снаряда \(200\ \text{м/c}\). Какова масса охотника, если его скорость после выстрела равна \(0,1 \ \text{м/c}\)
Так как до выстрела общий импульс системы равен нулю. По Закону Сохранения импульса: \[m_1\cdot \upsilon_1 - m_2\cdot \upsilon_2 = 0\] Где \(m_2\) – масса охотника, \(m_1\) – масса снаряда \(v_1\), \(\upsilon_2\) – скорости снаряда и охотника соответственно \[m_2 = \frac {m_1 \cdot \upsilon_1} {\upsilon_2}\] \[m_2= \frac {0,05\ \text {кг} \cdot 200\ \text{ м/с}}{0,1\ \text{м/c} } =100\text{ кг}\]
Камень массой \(m =4 \text { кг} \) падает под углом \(\alpha=30^\circ\) к вертикали со скоростью \(10 \ \text { м/с}\) в тележку с песком общей массой \( M=\ 16 \text { кг}\), покоящуюся на горизонтальных рельсах. Определите скорость тележки с камнем после падения в неё камня.
В начале импульс тележки равен нулю. по Закону Сохранения Импульса(на горизонтальную ось): \[m_1\cdot \upsilon_1\sin\alpha=(m+M)\cdot\upsilon'\] \[\upsilon'=\frac{m_1\cdot \upsilon_1\sin\alpha}{m+M}\] \[\upsilon'=\frac{4\text{ кг}\cdot 10\text{ м/с} \cdot\dfrac 1 2 }{4\text{ кг}+16\text{ кг}}=1\text{ м/c}\]
С неподвижной лодки массой \(M=50\text{ кг } \) на берег прыгнул мальчик массой \(m=40\text{ кг } \) со скоростью \(\upsilon_1 = 1 \text{ м/c } \) относительно берега, направленной горизонтально. Какую скорость \(\upsilon_2\) относительно берега приобрела лодка?
Начальный импульс системы равен нулю. По закону Сохранения Импульса: \[M\cdot\upsilon_2-m\cdot\upsilon_1 = 0\] \[\upsilon_2=\frac{m\cdot\upsilon_1}{M}\] \[\upsilon_2=\frac{40\ \text{ кг }\cdot 1\ \text{ м/с } } {50 \text{ кг}} =0,8 \ \text{ м/c }\]
Одинаковые шары массой \(m = 1 \ \text{ кг } \) каждый движутся со скоростями, направления которых указаны на рисунке, и сталкиваются. Чему будет равен суммарный импульс шаров после столкновения, если \(\upsilon_1=16 \ \text{ м/c }\), а \(\upsilon_2=\upsilon_1 \cdot \sqrt{2}\)?
Из рисунка видно, что углы между осями и вторым шаром равны \(45^\circ\). По закону сохранения импульса суммапрный импульс системы до удара и после удара будет одинаковый. Найдем проекции суммарного импульса на каждую ось: \(p_x'\) – Суммарный импульс на ось Ox \(p_y'\) – суммарный импульс на ось Oy \[p_{2x}-p_{1x}=p_x'\] \[p_{2y}-p_{1y} =p_y'\] По рисунку \(p_{1y}=0\) По теореме Пифагора: \[P_{\text{итог}}'=\sqrt{p_y'^2+p_x'^2}\] Заменим \(\upsilon_2\) на \(\upsilon_1 \cdot \sqrt{2} \). \[p_y'=m\cdot\upsilon_1\sqrt{2}\cos{45^\circ}\] \[p_x'=m\cdot \upsilon_1\cdot (\cos{45^\circ} \cdot \sqrt{2}-1)\] \[p_y'= 1\ \text{кг} \cdot 16 \ \text{ м/c } \cdot \frac{\sqrt2} 2\cdot \sqrt 2 = 16 \ \frac{\text{ кг }\cdot \text{ м }} {\text{ c }}\] \[p_x'= 1 \ кг \cdot \ 16 \ \text{м/c} \left(\frac{\sqrt2} {2} \cdot \sqrt2 - 1\right)=0\frac{\text{ кг }\cdot \text{ м }} {\text{ c }}\] \[P_{ итог } = \sqrt{\left(16\frac{\text{кг}\cdot \text{м}} { c}\right)^2}=16\frac{\text{ кг }\cdot \text{ м }} { \text{ c } }\]
На неподвижный бильярдный шар налетел другой такой же. После удара шары разлетелись под углом \(90^\circ\) так, что импульс одного равен \(p_1=5\dfrac {\text{ кг }\cdot \text{ м }} {\text{ c }} \), а другого \(p_2 = 12\dfrac{\text{ кг }\cdot \text{ м }}{\text{ c }}\) (см.рисунок). Чему был равен импульс налетающего шара?
По закону сохранения импульса: \[\vec{p'}=\vec{p_1}+\vec{p_2}\] Так как шары разлетелись под углом \(90^{\circ}\), применим теорему Пифагора: \[p'=\sqrt{p_1^2 + p_2^2}\] \[p'=\sqrt{\left(5 \frac {\text{ кг }\cdot \text{ м }} {\text{ c }} \right)^2 + \left(12\frac {\text{ кг }\cdot \text{ м }} {\text{ c }} \right)^2}=13\frac {\text{ кг }\cdot \text{ м }} {\text{ c }}\]
По гладкой горизонтальной плоскости по осям Оx и Оy движутся две шайбы с импульсами равными по модулю \(p_1 =3 \) кг\(\cdot\)м/с и \(p_2 =6 \) кг\(\cdot\)м/с (см.рисунок). После их соударения вторая шайба продолжает двигаться по оси y в прежнем направлении. Модуль импульса первой шайбы после удара равен \(p_1'= 5 \) кг\(\cdot\)м/с. Найдите модуль импульса второй шайбы после удара.
Запишем ЗСИ (закон сохранения импульса): \[\vec{p_1}+\vec{p_2}=\vec{p_1}'+\vec{p_2}' \quad(1)\] Спроецируем данное уравнение на ось Оx: \[p_1=p_{1x}' \quad(2)\] Спроецируем на ось Оy: \[p_2=p_{1y}'+p_2' \quad(3)\] После удара импульс первой шайбы стал равен \[p_1'=\sqrt{p_{1x}^{\prime 2}+p_{1y}^{\prime 2}} \quad(4)\] Из (2) следует, что \(p_{1x}' =3 \) кг\(\cdot\)м/с. Из (4) следует, что \[p_{1y}=\sqrt{p_1^{\prime 2}- p_{1x} ^{\prime 2}}=\sqrt{25-9} = 4 \text{ кг$\cdot$м/c}\]
Найдем \(p_2'\) из (3): \[p_2'=p_2-p_{1y}'= 6 - 4 = 2\text{ кг·м/c}\]
Снаряд, выпущенный вертикально вверх, мгновенно разрывается в высшей точке траектории на два осколка, массы которых \(m\) и \(4m\). Скорость лѐгкого осколка сразу после взрыва \(\upsilon_1=500\) м/с. Найдите скорость \(\upsilon_2\) второго осколка сразу после взрыва.
Суммарный импульс снаряда до взрыва равен 0 (так как взрыв происходит в наивысшей точки траектории), следовательно сразу после взрыва суммарный импульс тоже равен 0: \[0=\vec{p_1}+\vec{p_2}\] где \(p_1\) и \(p_2\) – это импульс первого и второго осколка. Найдем скорость второго осколка: \[m\upsilon_1=4m\upsilon_2\] \[\upsilon_2=\frac{\upsilon_1}{4}=\frac{500}{4}=125 \text{ м/с}\]
