15. Магнитное поле. Оптика

Волновая оптика

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела 15. Магнитное поле. Оптика:

Это старая версия каталога задач

Нажмите для перехода на новую версию

Интерференция — такое наложение волн, при котором происходит их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других, в зависимости от соотношения между фазами этих волн.

Необходимые условия для наблюдения интерференции:

1) Волны должны иметь одинаковые (или близкие) частоты, чтобы картина, получающаяся в результате наложения волн, не менялась во времени;

2) Волны должны быть однонаправленными (или иметь близкое направление); две перпендикулярные волны никогда не дадут интерференции. Волны, для которых выполняются эти два условия, называются когерентными.

При наложении когерентных волн возможны два предельных случая:

1) Условие максимума:

Разность хода волн равна целому числу длин волн (иначе четному числу длин полуволн). \[d_2=d_1=2k\dfrac{\lambda}{2}\] где (\(k=0, \pm 1,\pm 2, \pm 3...\)). В этом случае волны в рассматриваемой точке приходят с одинаковыми фазами и усиливают друг друга –– амплитуда колебаний этой точки максимальна и равна удвоенной амплитуде.

2) Условие минимума:

Разность хода волн равна нечетному числу длин полуволн. \[d_2=d_1=(2k+1)\dfrac{\lambda}{2}\] где (\(k=0, \pm 1,\pm 2, \pm 3...\)). Волны приходят в рассматриваемую точку в противофазе и гасят друг друга. Амплитуда колебаний данной точки равна нулю.

Принцип Гюйгенса

Каждая точка среды, до которой дошло возмущение, сама становится источником вторичных волн.

Дифракция волн — явление отклонения волны от прямолинейного распространения и огибания волной препятствия.

При дифракции происходит искривление поверхности волны у краев препятствия. Особенно явно дифракция проявляется в том случае, если размеры препятствия сравнимы с длинами волн.

Явление дифракции можно объяснить при помощи принципа Гюйгенса, так как любую точку поля волны следует рассматривать как источник вторичных волн, которые распространяются по всем направлениям, в том числе и в область геометрической тени препятствия.

В прозрачной плоской дифракционной решетке (см. рисунок) ширина прозрачного штриха равна \(a\), ширина непрозрачного промежутка — \(b\). Величина \(d=a+b=\dfrac{1}{N}\) называется периодом дифракционной решетки, где \(N\) — число штрихов на единицу длины решетки.

Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально к плоскости решетки. По принципу Гюйгенса-Френеля каждая щель является источником вторичных волн, способных интерферировать друг с другом. Получившуюся дифракционную картину можно наблюдать в фокальной плоскости линзы, на которую падает дифрагированный пучок.

Допустим, что свет дифрагирует на щелях под углом \(\varphi\). Так как щели находятся друг от друга на одинаковых расстояниях, то разности хода лучей, идущих от двух соседних щелей, для данного направления \(\varphi\) будут одинаковыми в пределах всей дифракционной решетки:

\[\Delta=CF=(a+b)\sin\varphi=d\sin\varphi\]

В тех направлениях, для которых разность хода равна четному числу полуволн, наблюдается интерференционный максимум. Наоборот, для тех направлений, где разность хода равна нечетному числу полуволн, наблюдается интерференционный минимум. Таким образом, в направлениях, для которых углы \(\varphi\) удовлетворяют условию

\[d\sin\varphi=m\lambda, (m=0,1,2,...)\]

наблюдаются главные максимумы дифракционной картины. Эту формулу называют формулой дифракционной решетки. В ней \(m\) называется порядком главного максимума. Между главными максимумами располагается \((N - 2)\) слабых побочных максимумов, но на фоне ярких главных максимумов они практически не видны. При увеличении числа штрихов \(N\) главные максимумы, оставаясь на прежних местах, становятся более резкими.

При наблюдении дифракции в белом свете все главные максимумы, кроме нулевого центрального максимума, окрашены. Это объясняется тем, что, как видно из формулы \[\sin\varphi=\dfrac{m\lambda}{d}\] различным длинам волн соответствуют различные углы, на которых наблюдаются интерференционные максимумы.

Звуковыми волнами в широком смысле называются всякие волны, распространяющиеся в упругой среде. В узком смысле звуком называют звуковые волны в диапазоне частот от 16 Гц до 20 кГц, воспринимаемые человеческим ухом. Ниже этого диапазона лежит область инфразвука, выше — область ультразвука.

К основным характеристикам звука относятся громкость и высота. Громкость звука определяется амплитудой колебаний давления в звуковой волнеиизмеряется в специальных единицах — децибелах (дБ). Чем больше амплитуда колебаний в звуковой волне, тем громче звук.

Скорость звука в разных средах различна: чем более упругой является среда, тем быстрее в ней распространяется звук. В жидкостях скорость звука больше, чем в газах, а в твёрдых телах — больше, чем в жидкостях.

Решаем задачи
Задание 1 #8649

На дифракционную решетку перпендикулярно к ее поверхности падает параллельный пучок лучей с длиной волны 0,7 мкм. Период дифракционной решетки составляет 2,8 мкм. Определите полное число максимумов в дифракционном спектре.

Показать решение


Введем величины: \(d\) — период дифракционной решетки, \(\lambda\)—длина волны лучей, \(\varphi\)—угол отклонения лучей.
По формуле дифракционной решетки: \[~~~~~d\sin{\varphi} = m\lambda~~~~~(1)\] Дифракционная решетка отклоняет лучи максимум на 90\(^{\circ}\). Значит, для последнего максимума: \[\sin{\varphi}=\sin{90^{\circ}}=1\] Подставим это в (1) и выразим \(m\): \[m=\dfrac{d}{\lambda}\] Здесь m —- порядок последнего дифракционного максимума.

Полное число максимумов в дифракционном спектре с учетом симметричности главных максимумов и наличия центрального максимума равно \[n = 2m + 1=2\cdot\dfrac{d}{\lambda}+1=2\cdot\dfrac{2,8\text{ мкм}}{0,7\text{ мкм}} +1=9\]

Ответ: 9
Задание 2 #8650

Дифракционная решетка освещается пучком света, идущим перпендикулярно к ней. Период дифракционной решетки составляет 3,6 мкм. Второй дифракционный максимум наблюдается под углом \(60^{\circ}\). Какова длина волны падающих лучей? Ответ дать в мкм и округлить до десятых.

Показать решение


Введем величины: \(d\) — период дифракционной решетки, \(\lambda\) — длина волны лучей, \(\varphi\) — угол отклонения лучей, \(m\) — порядок максимума.
По формуле дифракционной решетки: \[d\sin{\varphi} = m\lambda\] Выразим \(\lambda\): \[\lambda=\dfrac{d\sin{\varphi}}{m} =\dfrac{3,6\text{ мкм}\cdot\sin{60^{\circ}}}{2}\approx1,6\text{ мкм}\]

Ответ: 1,6
Задание 3 #8651

На дифракционную решетку перпендикулярно к ее поверхности падает пучок лучей с длиной волны 7 нм. Порядок последнего дифракционного максимума равен 6. Чему равен период дифракционной решетки? Ответ дать в нм.

Показать решение


Введем величины: \(d\) — период дифракционной решетки, \(\lambda\) — длина волны лучей, \(\varphi\) — угол отклонения лучей.
По формуле дифракционной решетки: \[~~~~~d\sin{\varphi} = m\lambda~~~~~(1)\] Дифракционная решетка отклоняет лучи максимум на 90\(^{\circ}\). Значит, для последнего максимума: \[\sin{\varphi}=\sin{90^{\circ}}=1\] Подставим это в (1) и выразим \(d\): \[d=m\lambda\] Здесь m — порядок последнего дифракционного максимума.
Подставим значения: \[d=6\cdot 7\text{ нм} =42\text{ нм}\]

Ответ: 42
Задание 4 #8652

Дифракционная решетка освещается пучком лучей с длиной волны 15 нм. Период дифракционной решетки равен 30 нм. Максимум какого порядка в данной ситуации характерен для лучей, отклоненных на 30\(^{\circ}\)?

Показать решение


Введем величины: \(d\) — период дифракционной решетки, \(\lambda\) — длина волны лучей, \(\varphi\) — угол отклонения лучей, \(m\) — порядок максимума.
По формуле дифракционной решетки: \[d\sin{\varphi} = m\lambda\] Выразим \(m\): \[m=\dfrac{d\sin{\varphi}}{\lambda}=\dfrac{30\text{ нм}\cdot \sin{30^{\circ}}}{15\text{ нм}}=1\]

Ответ: 1
Задание 5 #8653

Световая волна с длиной волны \(650\) нм распространяется в вакууме. Какова длина этой волны в воде? Ответ дать в нм и округлить до целых. Абсолютный показатель преломления в воде равен \(n=1,33\).

Показать решение


Введем определения: \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\) — длины волн в вакууме и воде соответственно, \(c\) и \(v\) — скорости света в вакууме и воде соответственно, \(\nu\) — частота волны (одинакова в вакууме и воде)

\[\begin{cases} \lambda_1=\dfrac{c}{\nu} \\ \\ \lambda_2=\dfrac{v}{\nu} \end{cases} ~~\Rightarrow~~ \dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}=\dfrac{v}{c} ~~\Rightarrow~~ \lambda_2=\dfrac{v}{c}\cdot \lambda_1\]

Известно, что \(n=\dfrac{c}{v}\), подставим это в предыдущую формулу: \[\lambda_2=\dfrac{\lambda_1}{n}=\dfrac{650\text{ нм}}{1,33}\approx489\text{ нм}\]

Ответ: 489
Задание 6 #8655

Световая волна с длиной волны \(550\) нм распространяется в воде. Какова длина этой волны в вакууме? Ответ дать в нм. Абсолютный показатель преломления в воде равен \(n=1,33\).

Показать решение


Введем определения: \(\lambda_1\) и \(\lambda_2\) — длины волн в вакууме и воде соответственно, \(c\) и \(v\) — скорости света в вакууме и воде соответственно, \(\nu\) — частота волны (одинакова в вакууме и воде)

\[\begin{cases} \lambda_1=\dfrac{c}{\nu} \\ \\ \lambda_2=\dfrac{v}{\nu} \end{cases} ~~\Rightarrow~~ \dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}=\dfrac{v}{c} ~~\Rightarrow~~ \lambda_1=\dfrac{c}{v}\cdot \lambda_2\]

Известно, что \(n=\dfrac{c}{v}\), подставим это в предыдущую формулу: \[\lambda_1=\lambda_2 \cdot n=550\text{ нм}\cdot 1,33 =731,5\text{ нм}\]

Ответ: 731,5
Задание 7 #8656

Сколько \(N\) штрихов на \(l=2\) мм должна иметь дифракционная решетка, чтобы углу 90\(^\circ\) соответствовал максимум четвертого порядка для света с длиной волны 400 нм?

Показать решение


Введем величины: \(d\) — период дифракционной решетки, \(\lambda\) — длина волны света, \(\varphi\) — угол отклонения лучей, \(m\) — порядок максимума.
По формуле дифракционной решетки: \[d\sin{\varphi} = m\lambda,\] где \(d=\dfrac{l}{N}\).

Отсюда: \[\dfrac{l}{N}\sin{\varphi} = m\lambda ~~\Rightarrow~~ N=\dfrac{l\sin{\varphi}}{m\lambda}\] Подставим значения: \[N=\dfrac{2\cdot 10^{-3}\text{ м}\cdot\sin{90^{\circ}}}{4\cdot400\cdot10^{-9}\text{ м}}=1250\]

Ответ: 1250

1

2
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!