Колебательный контур (страница 2)
Колебательный контур настроен на частоту \(1,5\cdot10^7\) Гц. Во сколько раз надо увеличить емкость конденсатора для перестройки контура на длину волны 40 м?
Период колебаний электромагнитного контура вычисляется по формуле Томсона: \[T=2\pi\sqrt{LC},\] где \(L\) – индуктивность катушки, \(C\) – ёмкость конденсатора. Длина волны: \[\lambda=\frac{c}{\nu}\] \[\nu_1=\frac{c}{\lambda}=\frac{3\cdot10^8\text{ м/с}}{40\text{ м}}=7,5\cdot10^6 \text{ Гц}\] Так частота колебаний уменьшилась в 2 раза, то по формуле Томпсона получаем, что емкость конденсатора надо увеличить в 4 раза.
Колебательный контур, состоящий из катушки индуктивности и воздушного конденсатора, настроен на длину волны 300 м. При этом расстояние между пластинами конденсатора 6,4 мм. Каким должно быть это расстояние (в мм), чтобы контур был настроен на длину волны 240 м?
Период колебаний электромагнитного контура вычисляется по формуле Томсона: \[T=2\pi\sqrt{LC},\] где \(L\) – индуктивность катушки, \(C\) – ёмкость конденсатора.
Емкость конденсатора: \[C=\varepsilon \varepsilon_0 \frac{S}{d},\] где \(S\) – площадь конденсатора, \(d\) – расстояние между обкладками, \(\varepsilon\) – диэлектрическая проницаемость диэлектрика, \(\varepsilon_0\) – диэлектрическая постоянная.
Длина волны: \[\lambda=\dfrac{c}{\nu}=сT=2\pi c\sqrt{LC}\]
Тогда отношение длин волн: \[\frac{\lambda_1}{\lambda_2}=\sqrt{\frac{C_1}{C_2}}=\sqrt{\frac{d_2}{d_1}}\] Тогда \(d_2\) равно \[d_2=d_1\cdot\left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^2=6,4\text{ мм}\cdot\left((\frac{300\text{ м}}{240\text{ м}}\right)^2=10 \text{ мм}\]
Во сколько раз уменьшится индуктивное сопротивление катушки, если ее включить в цепь переменного тока с частотой 50 Гц вместо 10 кГц?
Индуктивное сопротивление катушки: \[X_L=\omega L=2\pi \nu L,\] где \(\omega\) – циклическая частота, \(\nu\) – частота, \(L\) – индуктивность. При увеличении частоты в 200 раз индуктивное сопротивление увеличится в 200 раз.
При какой циклической частоте переменного тока наступит резонанс напряжений в замкнутой цепи, состоящей из катушки с индуктивностью 0,5 Гн и конденсатора емкостью 200 мкФ?
Резонанс наступает, когда частота вынужденной силы и колебательного контура совпадают: \[\omega=\frac{1}{\sqrt{LC}}=\frac{1}{\sqrt{200\cdot10^{-6}\text{ Ф}\cdot0,5\text{ Гн}}}=100 \text{ рад/с}\] Следовательно, циклическая частота переменного тока должна быть 100 рад/с.
