Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых система
имеет ровно два различных решения.
Источники:
Система имеет два решения, если уравнение
имеет два решения. Преобразуем это уравнение:
Его дискриминант должен быть больше нуля:
Пусть тогда неравенство примет вид
Рассмотрим случай Тогда
Следовательно, этот случай нам не
подходит. Значит,
Тогда можно разделить обе части неравенства на
и получим
Рассмотрим функцию Найдем ее производную:
Получаем, что производная имеет следующие знаки на промежутках, образованных ее нулями:
Следовательно, так как а
то график функции
выглядит схематично следующим образом:
Следовательно, существует единственная точка в которой
и
тогда решением неравенства
будет промежуток
Подбором с
учетом
находим
Следовательно, решением неравенства
будут
То есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых система
имеет ровно два различных решения.
Источники:
Сделаем замену
Графиком функции является «корыто»:
Графиком функции является «корыто»:
Таким образом, имеем
и
Следовательно, получаем на плоскости девять областей, на которые
прямые
и
разбивают эту плоскость:
Рассмотрим первое уравнение в каждой из этих областей:
-
(1,3):
-
Тогда
-
(2,3):
-
Тогда
-
(3,3):
-
Тогда
-
(1,2):
-
Тогда
-
(2,2):
-
Тогда
-
(3,2):
-
Тогда
-
(1,1):
-
Тогда
-
(2,1):
-
Тогда
-
(3,1):
-
Тогда
Таким образом, график первого уравнения таков:
Заметим, что второе уравнение исходной системы можно записать в виде
Следовательно, графиком этого уравнение при всех является пучок прямых,
проходящих через точку
Изобразим граничные положения прямой
Тогда нам подходят
- I:
- прямая
касается части окружности
Следовательно, расстояние от центра этой окружности до прямой
равно радиусу этой окружности:
Следовательно,
- II:
- прямая
проходит через точку
- III:
- прямая
проходит через точку
- IV:
- прямая
касается части окружности
Следовательно, расстояние от центра этой окружности до прямой
равно радиусу этой окружности:
Следовательно,
Получаем ответ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень.
Источники:
Перепишем уравнение в виде
Полученная система должна иметь единственное решение
Заметим, что первое уравнение системы задает верхнюю полуокружность с
центром в точке и радиусом
Второе уравнение задает «уголок», вершина которого движется по оси .
Ордината вершины уголка равна
При
ветви уголка
направлены вверх, а
при
ветви уголка направлены вниз, а
при
уголок вырождается в горизонтальную прямую, а
Необходимо, чтобы уголок с полуокружностью имели ровно одну точку пересечения.
Изобразим возможные положения уголка относительно полуокружности, при которых они имеют ровно одну точку пересечения, а также граничные положения уголка.
Координаты точек
Описание случаев:
-
(1)
-
Уголок проходит через точку
-
(2)
-
Уголок проходит через точку
-
(3)
-
Уголок проходит через точку
Также есть случай (4), когда уголок может касаться полуокружности.
Случай 1:
Случай 2:
Тогда при уголок имеет с полуокружностью ровно одну точку
пересечения.
Случай 3:
При этом уголок имеет одну точку пересечения с полуокружностью.
Случай 4. Уголок может касаться полуокружности левой ветвью или правой ветвью. Рассмотрим эти случаи по отдельности.
Левая ветвь. Тогда Уравнение левой ветви выглядит следующим
образом:
Если она касается полуокружности, то расстояние от
центра
полуокружности до этой ветви равно радиусу
полуокружности:
Это уравнение не имеет решений, следовательно, этот случай невозможен.
Правая ветвь. Тогда Уравнение правой ветви выглядит следующим
образом:
Если она касается полуокружности, то расстояние от
центра
полуокружности до этой ветви равно радиусу
полуокружности:
Это уравнение не имеет решений, так как дискриминант отрицателен, следовательно, этот случай невозможен.
Значит, исходное уравнение имеет ровно один корень при
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет ровно четыре различных решения.
Источники:
Перепишем уравнение в виде
График полученной совокупности представляет собой объединение части
параболы соответствующей
и части параболы
соответствующей
Следовательно, может получиться одна из четырех
картинок:
Где бы ни находилась ось абсцисс на рис. 1, рис. 2 и рис. 3, график будет иметь максимум две точки пересечения с этой осью. Следовательно, исходное уравнение будет иметь максимум два корня. Нам подходит только рис. 4. :
Этот рисунок задается следующим условием:
Ось абсцисс должна находиться в промежутке между прямой 1 и прямой 2. Это
значит, что обе параболы должна пересекать ось абсцисс, поскольку тогда ось
абсцисс будет находиться выше прямой 1. Кроме того, значение
должно быть положительно, поскольку тогда ось абсцисс будет ниже прямой 2.
Следовательно, имеем условия:
В итоге получаем следующую систему:
Отсюда получаем
Тогда исходное уравнение имеет ровно четыре различных решения при
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Нет обоснованного перехода к полученным неравенствам | 3 |
Верно составлена система неравенств, но решение либо неверное, либо не завершено | 2 |
Верно сведено к исследованию графически/или аналитически взаимного расположения частей парабол | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет единственный корень.
Источники:
Уравнение равносильно системе
Последняя система имеет единственное решение в одном из двух случаев:
— уравнение имеет единственный корень, то есть
причем этот
корень больше
то есть удовлетворяет неравенству
— уравнение имеет два корня
и
то есть
причем ровно
один из корней больше
а другой соответственно
Для обоих случаев нам необходим дискриминант, следовательно, найдем его:
- 1.
Тогда уравнение имеет единственный корень
В этом случае
Заметим, что
следовательно,
нам подходит.
- 2.
Тогда уравнение имеет два корня
Следовательно, нам необходимо, чтобы
Решим первую систему:
Тогда вторая система преобразуется в
Следовательно, в этом случае нам подходят
при этом условие
выполнено.
Объединив все подходящие значения параметра, получим окончательно
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Случай | 3 |
Верно рассмотрен случай | 2 |
ИЛИ | |
рассмотрен верно только случай | |
Уравнение сведено к рассмотрению
квадратного
уравнения с учётом допустимых значений
и рассмотрен случай | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых система
имеет ровно два различных решения.
Источники:
Сделаем замену
Тогда система примет вид
Заметим, что числу не соответствует ни одного
числу
соответствует ровно один
числу
соответствует ровно два
Также
заметим, что каждому
соответствует ровно один
Следовательно,
исходная система будет иметь ровно два решения, если новая система будет иметь
решения, причем ровно одно из них имеет вид
с
а у остальных
решений координата
отрицательна.
Так как то из системы
получаем, что
Следовательно, систему можно переписать в виде
Тогда по обратной теореме Виета получаем, что числа и
являются
корнями квадратного уравнения
Следовательно, система имеет решения, если дискриминант полученного
квадратного уравнения неотрицателен. Найдем этот дискриминант:
- 1.
Тогда система
имеет одно решение
, причем
Следовательно, при
получаем
Этот случай нам подходит.
При
получаем
Этот случай нам не подходит.
- 2.
Следовательно, система
имеет два решения
и
(решения симметричны в силу симметричности системы
). Нам нужно, чтобы
. То есть
то есть произведение корней квадратного уравнения
должно быть отрицательно:
Эти значения параметра удовлетворяют условию
Объединив полученные в обоих случаях значения параметра, получаем ответ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых оба уравнения
имеют ровно по 2 различных корня, и строго между корнями каждого из уравнений лежит корень другого уравнения.
Источники:
1 способ. Графический. В системе координат
Преобразуем первое и второе уравнение. Тогда первое уравнение примет вид:
а второе уравнение примет вид
Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе
координат
множества
и
решений первого и второго уравнений
соответственно. Если некоторая точка плоскости с координатами
принадлежит одному из множеств
или
то для исходной задачи это
означает, что если параметр
принимает значение
то
будет одним из
решений соответствующего уравнения.
Нас просят найти все такие значения параметра
при каждом из
которых ровно четыре точки вида
,
принадлежат множеству
решений
изображенному на плоскости
Причем выполнены
следующие требования:
две точки принадлежат множеству
то есть графику функции
(назовем их — «точки уголка»);
две точки принадлежат множеству
то есть графику, задаваемому
системой
(назовем их — «точки дуги»);
точки уголка и точки дуги перемежаются и не совпадают.
Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая
пересекается со множеством
по четырем точкам
где
причем точки
и
принадлежат
а точки
и
—
или наоборот.
Преобразуем уравнение
Таким образом, графиком уравнения является ломаная
Графиком системы является дуга
окружности с центром
в точке
радиуса
включая точки
и
(если быть
точнее, дуга
является полуокружностью), находящаяся правее прямой
Точки
— точки пересечения прямой
с окружностью
Изобразим множества и
на координатной плоскости:
Таким образом, видим, что нам подходят все горизонтальные прямые,
находящиеся в закрашенной области: между прямой проходящей через
точку
и прямой
проходящей через точку
включая положение
прямой
То есть ответом будут
Дейсвительно, если
упорядочить абсциссы точек пересечения такой горизонтальной прямой со
множеством
то мы получим четыре точки
причем точки с
абсциссами
и
лежат на дуге
а точки с абсциссами
и
— на
ломаной
Найдем ординаты точек и
— точка пересечения окружности
с прямой
находящаяся во II четверти, то есть имеющая отрицательную абсциссу. Значит, ее
координаты ищутся из системы:
Значит,
— точка пересечения окружности
с прямой
находящаяся во II четверти, то есть имеющая отрицательную абсциссу. Значит, ее
кординаты ищутся из системы:
Значит,
Тогда ответ
2 способ. Алгебраический
Рассмотрим первое уравнение. Определим, при каких оно имеет корни и
какие это корни.
Полученная система имеет два решения, если корни совокупности удовлетворяют
условию и различны:
Таким образом, при первое уравнение имеет два различных
корня.
Рассмотрим второе уравнение.
Полученная система имеет два различных корня, если парабола
пересекает ось абсцисс в двух точках, причем обе точки удовлетворяют условию
Следовательно, дискриминант уравнения
должен
быть положителен, а число
должно располагаться в I или II месте, то есть
левее меньшего из корней или совпадать с ним. Если
— абсцисса
вершины этой параболы, то нужная нам ситуация задается следующей
системой:
Следовательно, при второе уравнение имеет два различных
корня.
Значит, при
оба уравнения имеют по два различных корня.
Далее будем вести рассуждения при (чтобы существовали корни
обоих уравнений).
Корни первого уравнения найдены, корни второго уравнения ищутся из
то есть это числа
и
Заметим, что
Пусть
— корни второго уравнения. Заметим
также, что
при
.
Определим, при каких корни перемежаются (между корнями каждого из
уравнений лежит корень другого уравнения). Возможны две ситуации.
- 1.
Следовательно,
Так как
то
следовательно, неравенство
не имеет решений.
- 2.
Следовательно,
(решили систему при
).
Пересекая полученные значения с получаем итоговый
ответ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет ровно два различных корня.
Источники:
Уравнение равносильно совокупности
Корни уравнения (1) — числа
Решим уравнение (2). Оно линейное.
При уравнение (2) примет вид
Следовательно, совокупность, а значит и исходное уравнение, может иметь
максимум два корня — это и
Для того, чтобы оба этих числа являлись
решениями совокупности, нужно, чтобы они удовлетворяли неравенству (1’),
которое имеет вид
То есть они ему удовлетворяют. Следовательно,
нам подходит и является первой частью ответа.
Пусть Не будем это повторять каждый раз в наших дальнейших
рассуждениях, просто в итоговых значениях
это учтем.
Уравнение (2) имеет единственный корень
Получаем, что числа
и
— «потенциальные» решения совокупности,
а значит, и исходного уравнения. При этом
и
— решения, если они
удовлетворяют (1’),
— решение, если удовлетворяет (2’).
Определим при которых каждое из чисел
удовлетворяет
«своему» неравенству. Будем такое число называть хорошим. В противном случае
будем называть число плохим. То есть определим
при которых каждое число
является хорошим или плохим.
Число — хорошее, если выполнено неравенство
Значит, — плохое, если
Число — хорошее, если
Значит, — плохое, если
Число — хорошее, если
Значит, — плохое, если
В таком случае, если числа различны, то нам подходит ситуация, когда из трех чисел ровно два хороших, а третье плохое.
Рассмотрим отдельно случаи, когда какие-то два числа совпадают. При этом
все три совпасть не могут, так как
- 1.
- Пусть
Тогда
— хорошие,
— плохое. Следовательно, этот случай нам не подходит.
- 2.
- Пусть
Тогда
— хорошие и
— хорошее. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня, значит,
— вторая часть ответа.
Далее пусть все три числа различны, то есть
Составим для удобства табличку:
- 1.
- Ситуация «хорошее, хорошее, плохое»:
- 2.
- Ситуация «хорошее, плохое, хорошее»:
- 3.
- Ситуация «плохое, хорошее, хорошее»:
Следовательно, третья часть ответа:
Объединив все подходящие значения параметра, получаем окончательно
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
С
помощью верного рассуждения получено
множество значений | 3 |
Верно найдены граничные значение параметра, но переход к ответу неверный | 2 |
ИЛИ | |
допущена вычислительная ошибка | |
Верно найдены корни уравнения с учётом допустимых значений | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень.
Источники:
Уравнение равносильно
- 1.
- Пусть
. Тогда совокупность имеет вид
Следовательно, этот случай нам не подходит.
- 2.
- Пусть
Тогда совокупность имеет вид
Видим, что для любого
число
— решение совокупности, а значит, и исходного уравнения. Следовательно, для того, чтобы совокупность имела единственное решение, нужно, чтобы числа
и
совпадали или они были различны, но тогда
не удовлетворяло неравенству, находящемуся с ним в системе.
Следовательно, ответ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все положительные значения параметра при каждом из которых
корни уравнения
принадлежат отрезку
Источники:
Разделим обе части исходного уравнения на положительное при всех
выражение
- 1.
- Если
то уравнение
примет вид
Следовательно, этот случай нам не подходит.
- 2.
- Пусть
Тогда мы имеем показательное уравнение
которое имеет единственный корень
Этот корень существует, так как
и по условию
то есть удовлетворяет ОДЗ логарифма. Следовательно, этот корень должен лежать в отрезке
значит,
Применим метод рационализации для обоих неравенств:
Решим первое неравенство:
Таким образом, решением первого неравенства будут
Решим второе неравенство:
Таким образом, его решением будут
Пересечем решения, учитывая, что
и
Получим
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Не рассмотрен случай | 3 |
Верно наложены условия принадлежности корня данному отрезку, но граничные точки найдены неверно из-за вычислительной ошибки | 2 |
ИЛИ | |
ошибка в решении одного из неравенств | |
Верно найден корень данного уравнения | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых неравенство
верно при всех действительных значениях
Источники:
Сделаем замену тогда неравенство примет вид
Рассмотрим функцию Тогда неравенство имеет
вид
и необходимо, чтобы оно было выполнено при всех
Исследуем функцию Ее производная равна
В зависимости от знака выражения производная имеет один нуль,
два нуля или не имеет нулей. Следовательно, рассмотрим эти случаи по
отдельности.
- 1.
- Пусть
Тогда
Определим знаки производной на промежутках, образованных нулями производной и нарисуем схематично график функции
Мы не знаем, как располагается отрезок
относительно точек
и
. Следовательно, рассмотрим два случая.
- 1.1.
Тогда в силу симметрии точек
и
относительно
ровно как и точек
и
имеем
Следовательно, схематично график функции
выглядит так:
Следовательно, неравенство
будет выполнено для всех
если
В пересечении с
получаем пустое множество. Следовательно, в этом случае подходящих значений параметра нет.
- 1.2.
Тогда
Схематично график функции
выглядит так:
Следовательно, неравенство
будет выполнено для всех
если
Сделаем замену
тогда первое неравенство примет вид
Сделаем обратную замену:
Пересекая с
получаем подходящие значения параметра
:
- 2.
- Пусть
тогда
следовательно, график функции
схематично выглядит так:
Следовательно, неравенство
будет выполнено для всех
если
Пересекая с
получаем
Следовательно, ответ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Источники:
Первое уравнение: при задает окружность с центром в точке
и радиуса
при
задает точку
при
задает пустое множество. Следовательно, так как система
должна иметь решения, нам не нужно рассматривать только последний
случай.
- 1)
- Пусть
Тогда
Проверим, удовлетворяют ли координаты точки
второму уравнению:
Получили неверное равенство, следовательно, при
система не имеет решений.
- 2)
Про первое уравнение мы уже сказали выше. Второе уравнение задает прямую
Окружность и прямая имеет единственную точку пересечения, когда прямая касается окружности. Значит, расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности.
Воспользуемся формулой расстояния от точки
до прямой
Подставим наши значения:
Оба значения удовлетворяют условию
Следовательно,
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Недостаточное обоснование построения | 3 |
ИЛИ | |
нет рассмотрения случая | |
Получено верно одно из двух значений
параметра | 2 |
ИЛИ | |
значения параметра найдены верно, но нет обоснования их нахождения на основе взаимного расположения графиков | 2 |
Верно сведено к исследованию графически или аналитически, при этом построение обосновано | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых среди корней
уравнения
будет ровно три положительных.
Источники:
Рассмотрим две функции:
График — парабола, вершина которой находится в точке
График
— уголок (при
), вершина которого находится в точке
левая ветвь задается уравнением
правая ветвь
задается уравнением
или прямая
(при
). При
ветви уголка направлены вниз, при
— вверх.
Так как график
находится в верхней полуплоскости, то при
графики
и
не имеют общих точек, следовательно, этот случай нам не
подходит.
Пусть Так как график параболы симметричен относительно прямой
а график уголка — относительно прямой
то при изменении
от
до
сначала уголок правой ветвью коснется параболы, а затем правая
ветвь будет иметь две точки пересечения с параболой. Далее левая ветвь уголка
коснется параболы (а правая будет иметь две точки пересечения с параболой)
и затем уже и левая ветвь уголка будет иметь две точки пересечения с
параболой.
Следовательно, для начала рассмотрим случай, когда уголок и парабола имеют три общие точки: левая ветвь уголка касается параболы. Если абсцисса точки касания будет положительной, то этот случай нам подходит.
Запишем условия касания и
Корнями первого уравнения являются Нам подходит
так как именно при нем мы получаем положительный
Заметим, что
абсцисса точки касания
следовательно, как говорилось выше, этот
случай нам подходит.
Пусть Тогда левая ветвь пересекает параболу в двух точках,
одна из которых имеет положительную абсциссу. Следовательно, необходимо,
чтобы абсцисса второй точки была неположительной. Тогда произведение абсцисс
этих точек должно быть неположительно. Запишем уравнение, из которого
могут быть найдены абсциссы точек пересечения левой ветви уголка и
параболы:
Произведение корней должно быть неположительно, значит,
Пересечем полученные значения с Для этого сравним
числа:
Следовательно, Значит, после пересечения получаем
Тогда исходное уравнение имеет ровно три положительных корня при
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
С
помощью верного рассуждения получены
все значения | 3 |
С помощью верного рассуждения
получены не все значения | 2 |
Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически) | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых среди корней
уравнения
ровно два положительных.
Источники:
Рассмотрим две функции:
График — парабола, вершина которой находится в точке
График
— уголок (при
), вершина которого находится в точке
левая ветвь задается уравнением
правая ветвь
задается уравнением
или прямая
(при
). При
ветви уголка направлены вниз, при
— вверх.
Так как график
находится в верхней полуплоскости, при
графики
и
не имеют общих точек, следовательно, этот случай нам не
подходит.
Пусть В силу того, что график параболы симметричен относительно
прямой
а график уголка — относительно прямой
при изменении
от
до
сначала уголок левой ветвью коснется параболы, затем левая ветвь
будет иметь две точки пересечения с параболой, затем правая ветвь уголка
коснется параболы (а левая будет иметь две точки пересечения с параболой), и
затем уже и правая ветвь уголка будет иметь две точки пересечения с
параболой.
Следовательно, в теории нам могут подойти две ситуации: когда левая ветвь имеет две точки пересечения с параболой, причем абсциссы обеих точек положительны, а правая не имеет общих точек с параболой; когда левая ветвь имеет две точки пересечения с параболой, абсцисса одной из них положительна, а второй — неположительна, а правая ветвь касается параболы.
- 1)
- Проверим, возможна ли первая ситуация.
Определим
при которых левая ветвь имеет две точки пересечения с параболой. Тогда следующее квадратное уравнение должно иметь два решения при
Следовательно, его дискриминант
Абсцисса одной из точек всегда положительна, следовательно, обе абциссы положительны, если произведение корней этого квадратного уравнения положительно:
Теперь осталось проверить, имеет ли правая ветвь точки пересечения с параболой. Для этого найдем
при котором правая ветвь касается параболы (нам в любом случае это значение пригодится для проверки второй ситуации):
Корни первого уравнения
Нам подходит
так как именно при нем мы получаем положительный
Следовательно, при
правая ветвь не имеет общих точек с параболой, при
— касается параболы, при
— имеет две общие точки с параболой.
Значит, наша ситуация задается следующими
Это первая часть ответа.
- 2)
- Проверим, возможна ли вторая ситуация.
Абсцисса одной из точек пересечения левой ветви с параболой положительна, а второй — неположительна, при
Правая ветвь касается параболы при
Следовательно,
Это вторая часть ответа.
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
Недостаточное обоснование построения | 3 |
Верно исследовано одно из двух положений | 2 |
Верно сведено к исследованию графически или аналитически, при этом построение обосновано | 1 |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите , при которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке
Уравнение вида равносильно системе из
и
Таким
образом, при
то есть на ОДЗ, получаем
Получаем два предполагаемых решения
Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет двум требованиям:
принадлежит ОДЗ и лежит в отрезке В противном случае, то есть когда
не удовлетворяет хотя бы одному из этих условий, будем считать число
плохим.
Таким образом, нам подходят ситуации, когда числа и среди них
ровно одно хорошее или когда
— хорошее.
- 1)
— хорошее, если
- 2)
— хорошее, если
и
Решим первое неравенство:
Пересекая с
получаем
Получаем три подходящие нам ситуации:
-
«хорошее+плохое»:
-
«плохое+хорошее»:
- «хорошее+хорошее» и
Совпадают они при
при котором как раз они являются хорошими.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень на отрезке
Источники:
Рассмотрим уравнение при всех :
Будем рассматривать параметр как переменную. Построим в системе
координат
множество
решений системы. Если некоторая точка
плоскости с координатами
принадлежит этому множеству
то для
исходной задачи это означает, что если параметр
принимает значение
то
будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие
значения
параметра
при каждом из которых ровно одна из точек вида
,
принадлежит множеству решений
изображенному на
плоскости
Фактически это равносильно тому, что горизонтальная
прямая
имеет ровно одну точку пересечения с множеством
.
Итак, в системе координат совокупность задает объединение двух
прямых, первое неравенство — внутренность круга (без границы) с центром в
и радиусом
, а второе неравенство — вертикальную полосу-область (с
границей) между прямыми
и
.
Решением системы является множество точек, принадлежащих прямым
и
лежащих внутри области, являющейся пересечением
внутренности круга и полосы. Таким образом, множество
— это отрезки
(с выколотым концом
) и
.
Найдем координаты всех важных точек:
Тогда ответ ;
;
, то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых уравнение
имеет ровно один корень.
Источники:
Уравнение равносильно
При уравнение из второй системы не имеет решений.
Следовательно, исходное уравнение имеет единственное решение, если
удовлетворяет условию
то есть при
Следовательно, при
исходное уравнение имеет единственное решение.
При уравнение из второй системы имеет единственный корень
совпадающий с корнем из первой системы, который удовлетворяет условию
и
Следовательно, это значение параметра нам также
подходит.
Пусть далее Тогда уравнение из первой системы удовлетворяет условию
уравнение из второй системы имеет два различных корня
каждый из которых не должен являться корнем исходного
уравнения, следовательно, не должен удовлетворять условию
Но
следовательно, удовлетворяет условию
Значит. исходное
уравнение уже имеет как минимум два корня. Следовательно,
нам не
подходит.
Таким образом, ответ
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых система
уравнений
имеет ровно два различных решения.
Источники:
Способ 1. Графический
Система определена при На этой области определения первое
уравнение системы равносильно совокупности
В координатах получаем прямую и гиперболу в области
Второе уравнение задаёт прямую с угловым коэффициентом 2, у которой
параметр отвечает за сдвиг вверх-вниз по вертикальной оси.
Точка пересечения прямых и
при каждом фиксированном
является решением системы. Поэтому ровно 2 решения система будет иметь,
если прямая
касается одной из веток гиперболы, либо пересекает
правую ветку гиперболы один раз в области выше прямой
а второй раз
в области ниже прямой
Рассмотрим ключевые положения и посчитаем значения параметра в каждом из них.
Положения 1 и 2. Прямая касается гиперболы
если
уравнение
имеет ровно одно решение. Квадратное уравнение имеет ровно одно решение,
если его дискриминант равен нулю:
Гипербола пересекается с прямой
при
Получаем
и
Найдем значения параметра, при которых прямая проходит через
эти точки.
Положение 3:
При этом значении параметра решением системы является точка и
вторая точка пересечения гиперболы с прямой
которая находится в
пределах области выше прямой
Всего будет два решения системы, так
что это значение параметра нам подходит.
Положение 4:
При этом значении параметра решением системы является точка а
вторая точка пересечения гиперболы с прямой
находится в пределах
области ниже прямой
Всего будет одно решение системы, так что это
значение параметра нам не подходит.
Тогда окончательно имеем
Способ 2. Алгебраический
Так как замена линейная, то система будет иметь 2 решения в том
случае, если первое уравнение системы после подстановки
будет иметь
2 решения:
Назовем корень числом
Заметим, что
при любом
является
решением полученной системы. Следовательно, эта система имеет два решения,
если:
1) квадратное уравнение имеет одно решение то есть
причем
2) квадратное уравнение имеет два решения, то есть причем меньший
из этих двух корней
а больший
Найдем Найдем абсциссу вершины параболы
— это
Следовательно, для первого случая получаем
Второй случай выполняется, если парабола пересекает
ось абсцисс в двух точках, причем число
лежит между этими точками либо
совпадает с левой точкой:
Эта картинка задается следующими условиями:
Следовательно, ответ
Содержание критерия | Балл |
Обоснованно получен верный ответ | 4 |
С помощью верного рассуждения получены верные значения параметра, но есть недостаток в обосновании | 3 |
С помощью верного рассуждения получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, при этом верно выполнены все шаги решения, | 2 |
ИЛИ | |
в решении верно найдены все граничные точки множества значений параметра, но неверно определены промежутки значений | |
В случае аналитического решения: задача верно сведена к набору решенных уравнений и неравенств с учетом требуемых ограничений, | 1 |
ИЛИ | |
в случае графического решения: задача верно сведена к исследованию взаимного расположения линий (изображены необходимые фигуры, учтены ограничения, указана связь исходной задачи с построенными фигурами) | |
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
Максимальный балл | 4 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых система
имеет ровно два различных решения.
Источники:
Способ 1. Графический
Система равносильна
Заметим, что при любом прямые
и
пересекаются.
Назовем эту точку
Следовательно, нам подойдут те значения параметра
при которых прямая
находится в таком положении, что
имеет:
1) ровно одну точку пересечения с гиперболой причем эта точка не
совпадает с точкой
2) ровно две точки пересечения с гиперболой причем одна из них —
это точка
Изобразим подходящие положения прямой
Положения (1) и (2) — прямая касается гиперболы
Найдем, при каких
это происходит.
При получаем
при
получаем
Следовательно, положению (1) соответствует а положению (2)
соответствует
Положения (3) и (4) — когда проходит через одну из двух точек
пересечения гиперболы
и прямой
Найдем для начала эти
точки:
Следовательно, получаем точки и
Положение (3): прямая проходит через
Положение (4): прямая проходит через
Ответ:
Способ 2. Алгебраический
Так как замена линейная, то система будет иметь 2 решения в том
случае, если первое уравнение системы после подстановки
будет иметь
2 решения:
Назовем корень числом
Полученная совокупность будет иметь 2 решения, если:
1) квадратное уравнение имеет одно решение, то есть причем это
решение не совпадает с
2) квадратное уравнение имеет 2 решения, то есть причем одно из этих
решений совпадает с
Найдем Найдем также абсциссу вершины параболы
— это
Тогда первый случай задается условиями
Второй случай задается условиями
Ответ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все значения параметра при каждом из которых система
уравнений
имеет ровно два различных решения.
Источники:
Способ 1. Графический
Система равносильна
Сделаем замену Тогда система примет вид
Пусть — множество точек плоскости
лежащих либо на части
гиперболы
лежащей выше прямой
либо на прямой
Необходимо найти те при которых прямая
проходящая через
начало координат плоскости
имеет ровно две точки пересечения с
множеством
Найдем точки пересечения гиперболы и прямой
Получаем точки и
Изобразим граничные положения прямой
Нам подходят все (положение 5). При
нам подходят все
положения между 4 (когда
горизонтальна) и 3 (когда
проходит
через точку
), положение 2 (когда
параллельна прямой
), а также положение 1 (когда
касается гиперболы), если в
положении 1 параметр
- п. (1)
- Прямая
— касательная к графику
в точке
если
- п. (2)
- Прямая
параллельна прямой
- п. (3)
- Прямая
проходит через точку
если
- п. (4)
- п. (5)
Следовательно, ответ
Способ 2. Алгебраический
Подставим в первое уравнение. Так как замена линейная, то
полученное уравнение относительно
должно иметь 2 решения:
-
-
Тогда система равносильна
при любом
является решением системы. Следовательно, квадратное уравнение либо должно иметь 1 корень, больший
либо два корня, причем ровно один из них больше
(а второй соответственно
).
Дискриминант квадратного уравнения
Абсцисса вершины параболы
равна
Если
то есть
то единственный корень квадратного уравнения равен
Необходимо, чтобы
Это выполнено. Значит,
нам подходит, так как оно также удовлетворяет
-
-
Тогда система равносильна
Следовательно,
нам подходит.
-
-
Тогда система равносильна
Заметим, что
следовательно, квадратное уравнение имеет два корня. Значит, требуется, чтобы один корень был
а второй
Ветви параболы
направлены вверх, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число
должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:
Это задается следующими условиями:
-
-
Тогда система равносильна
Следовательно,
нам не подходит.
-
-
Тогда система равносильна
Заметим, что
следовательно, квадратное уравнение имеет два корня. Значит, требуется, чтобы один корень был
а второй
Ветви параболы
направлены вниз, она пересекает ось абсцисс в двух точках. Значит, число
должно находиться между корнями или совпадать с большим корнем:
Это задается следующими условиями:
Следовательно, ответ