Ток через конденсатор —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#30885

В электрической схеме, состоящей из батареи с ЭДС $ℰ = 30$ В, резисторов $R1 = 10$ Ом, $R2 = 20$ Ом, $R3 = 30$ Ом и конденсатора (см. рисунок), замыкают ключ K.
1) Найти ток $I 0$ через резистор $R 2$ сразу после замыкания ключа.
2) Найти ток $IБ$ через батарею в тот момент времени, когда ток через резистор $R3$ равен $I = 0,3$ А.
Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
МФТИ, 1999

Показать ответ и решение

1) Сразу после замыкания ключа напряжение на конденсаторе равно нулю, следовательно, напряжение на $R3$ равно нулю. Расставим потенциалы

Тогда ток через $R2$ :

I0 = ℰ--= 1,5 А R2

2) Расставим потенциалы:

Найдем потенциал $φ1$ :

φ1 = ℰ − IR3.

Искомый ток равен:

ℰ φ ℰ ℰ − IR 81 IБ = I1 + I2 =--- + --1 = --- + -------3-= ---А R1 R2 R1 R2 20

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записан закон Ома	2

Сказано, как течет до замыкания ключа	2

Сказано, как протекает ток в установившемся режиме	2

Выражена искомая величина	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#30886

В цепи, схема которой показана на рисунке, все элементы идеальные, их параметры указаны на схеме. Ключ К разомкнут, режим в цепи установился. Затем ключ замыкают. В некоторый момент $M$ ток через конденсатор стал в 5 раз меньше максимального тока через него.
1) Найти максимальный ток $Im$ через конденсатор после замыкания ключа.
2) Найти ток через источник в момент $M$ .
3) Найти мощность $P$ , развиваемую источником в момент М
(«Физтех», 2018, 11 )

Показать ответ и решение

1) Сразу после замыкания ключа напряжение на конденсаторе равно нулю. Так как конденсатор и резистор подключены параллельно, то напряжение на резисторе тоже равно нулю и ток через резистор $R$ не течёт, следовательно, ток через конденсатор равен

E Im = --, r

это и будет максимальное значение тока.
2) Пусть ток через источник в момент $M$ равен $I$ , тогда ток через резистор равен $I − Im- 5$ (по первому правилу Кирхгофа), следовательно, по второму правилу Кирхгофа для участка $( ) E-- E-(R-+-5r)- E = Ir + I − 5r R ⇒ I = 5r (R + r) .$
3) Мощность равна:

E2 (R + 5r) P = EI = ------------ 5r(R + r)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#41143

В схеме, изображённой на рисунке, в начальный момент ключ $K$ разомкнут, а в замкнутом контуре течёт установившийся ток. Определить величину и направление тока через конденсатор сразу после замыкания ключа $K$ . Параметры схемы: ЭДС батареи $ℰ = 40 1$ В, внутреннее сопротивление $R = 20 1$ Ом; ЭДС $ℰ2 = 80$ В, внутреннее сопротивление $r2 = 5$ Ом; сопротивление резистора $R = 15$ Ом.
(МФТИ, 1993)

Показать ответ и решение

До замыкания ключа установившийся ток через резистор

---ℰ3-- IR = R + r 2

Напряжение на конденсаторе

ℰ R UC = IRR = ---2--- R + r2

Сразу после замыкания ключа ток $IR$ и напряжение $UC$ останутся неизменными. Через батарею $ℰ1$ будет течь ток $ℰ1−UC I1 = --r1---$ , а через источник $ℰ2$ ток $I2 = IR$ . Тогда ток через конденсатор

ℰ1 ℰ2R IC = I1 + I2 − IR = r--− r--(R-+-r-) = − 1 А 1 1 2

Ток течет слева направо на рисунке, изображенном в условии задачи.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#41144

В электрической схеме, представленной на рисунке, ключи $K1$ и $K2$ разомкнуты. Ключ $K1$ замыкают и, когда ток через резистор с сопротивлением R достигает значения $I0$ , замыкают ключ $K 2$ .
1) Найти ток через конденсатор ёмкостью $C$ сразу после замыкания ключа $K2$ .
2) Найти заряд на конденсаторе после установления стационарного состояния. ЭДС батарей $ℰ1$ и $ℰ2$ и их внутренние сопротивления $r1$ и $r2$ известны.

(МФТИ, 2005)

Показать ответ и решение

1) До замыкания ключа $K2$ напряжение на конденсаторе равно напряжению на резисторе, причём сразу после замыкания ключа напряжение на конденсаторе не изменится, значит и ток через резистор не изменится. Пусть сразу после замыкания $K 2$ ток через $ℰ 1$ равен $I 1$ , а ток через $ℰ 2$ равен $I 2$ . Через резистор ток - $I0$ . Запишем два уравнения Кирхгофа для правого и левого контуров (обход против и по часовой стрелке соответственно):

ℰ1 = I1r1 + I0R

ℰ2 = I2r2 + I0R

Закон сохранения заряда:

I1 + I2 = IC + I0 ⇒ IC = I1 + I2 − I0

ℰ − IR ℰ − I R ⇒ IC = -1----0--+ --2---0-- − I0 r1 r2

( ) ℰ1- ℰ2- R- R- ⇒ IC = r1 + r2 − I0 r1 + r2 + 1

2) В установившемся режиме ток через конденсатор равен нулю. Тогда те же уравнения Кирхгофа будут выглядеть следующим образом:

′ ℰ1 = I1r1 + IRR

ℰ = I′r + I R 2 2 2 R

Закон сохранения заряда:

IR = I ′+ I′ 1 2

ℰ − I R ℰ − I R IR = -1----R---+ --2---R--- r1 r2

qC = CUC = CIRR

( ℰ ℰ ) -1-+ --2 ⇒ q = CR (--r1----r2--)- C -R R- r + r + 1 1 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#41564

В электрической цепи, собранной из резисторов, батарей и первоначально незаряженных конденсаторов, все возникшие после соединения процессы перезарядки закончились. Все элементы можно считать идеальными, их параметры указаны на рисунке.
1) Найдите разность потенциалов $φA − φB$ в установившемся режиме при разомкнутом ключе K.
2) Найдите (с указанием направления) ток через резистор с сопротивлением R сразу после замыкания ключа K.

(МФТИ, 2007)

Показать ответ и решение

1) Запишем закон Кирхгофа для контура:

4ℰ − ℰ = UC + U3C

Закон сохранения заряда для изолированной области показанной на рисунке:

0 = CUC − 3CU3C ⇒ UC = 3U3C

Следовательно:

3ℰ U3C = --- 4

9ℰ UC = --- 4

Δφ = ℰ + U − ℰ = U = 9-ℰ AB C C 4

2) Запишем закон Кирхгофа для контура сразу после замыкания ключа. Так как напряжение скачком на конденсаторе меняться не может, то напряжение на конденсаторе $C$ не измениться, а напряжение на конденсаторе $5C$ будет равно нулю:

IRR − UC = − 4ℰ + 3ℰ

9ℰ IRR − ---= − ℰ 4

9 I = −-ℰ-+-4ℰ--= 5ℰ- R R 4R

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано первое правило Кирхгофа	2

Записан закон сохранения элкетрического заряда для обкладок конденсаторов	2

Формула заряда конденсатора	2

Закон Ома	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#41598

Две батарейки с одинаковой ЭДС ( $ℰ1 = ℰ2 = ℰ$ ), но разными внутренними сопротивлениями ( $r1 = 0,1$ Ом, $r2 = 1,1$ Ом) включены последовательно в цепь, содержащую конденсатор, ёмкость которого равна $C$ , и резисторы, сопротивления которых равны $R = 2,8 1$ Ом и $R = 1,12 2$ Ом соответственно (рис.). Сначала, когда цепь разомкнута, идеальный вольтметр, подсоединённый к клеммам батареи $ℰ1$ , показывает напряжение $U0 = 8$ В. Потом вольтметр подсоединяют к клеммам батареи $ℰ2$ и замыкают ключ $K$ . Найдите показания вольтметра непосредственно после замыкания ключа и после того, как токи в цепи установятся.
(Всеросс., 1993, финал, 10)

Показать ответ и решение

Так как вольтметр идеальный, то до замыкания ключа он показывает значение ЭДС батареи:

U0 = ℰ = 8 B

Сразу после замыкания ключа сила тока, текущего в цепи, равна

I = ------2U0-------= 0,8 A, 1 r1 + r2 + R1R2-- R1+R2

а напряжение на второй батарее

-R1R2- U = ℰ − I r = U r1-−-r2 +-R1+R2-= − 0, 1U = − 0,8 B. 1 1 2 0r1 + r2 + -R1R2- 0 R1+R2

Когда конденсатор зарядится, ток будет течь только через сопротивление $R1$ , и тогда

2U I2 = -------0---- = 4 A. r1 + r2 + R1

Следовательно,

r1-−-r2 +-R1 U2 = ℰ − I2r2 = U0 r1 + r2 + R1 = 0,45U0 = 3,6 B.

Обратим внимание на то, что напряжение на батарее в зависимости от схемы включения может менять знак.

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Сказано, когда вольтметр показывает ЭДС	2

Закон Ома для участка и для полной цепи	2

Законы последовательного и параллельного соединения резисторов в цепи	2

Описан установившийся режим в цепи	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#41599

Между обкладками плоского конденсатора помещена плоская пластина из слабопроводящего материала, удельное сопротивление которого $ρ$ . Толщина пластины равна $h$ (рис.). Конденсатор заряжают до напряжения $U 0$ , затем его обкладки замыкают накоротко. Найдите максимальную силу тока, который потечёт через слабопроводящую пластину. Площадь каждой из обкладок конденсатора и пластины одинакова и равна $S$ . Расстояние между обкладками конденсатора равно $d$ ( $d < < S$ ).
(Всеросс., 1994, финал, 10)

Показать ответ и решение

При переносе проводящей пластины параллельно обкладкам конденсатора, поле между ними и внесенной пластиной не изменяется, перенесем ее к одной из обкладок конденсатора вплотную. Тогда получится простая эквивалентная схема, изображенная на рис. 88. В этой схеме конденсатор имеет площадь обкладок $S$ и расстояние между ними $d − h$ . Конденсатор заряжен до напряжения $U0$ , и его сопротивление равно $R = ρh ∕S$ . После замыкания обкладок конденсатора накоротко, в начальный момент по цепи потечет ток (и сила тока в этот момент будет максимальной):

U0- U0S- I = R = ρh

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#48483

Два одинаковых проводящих диска радиусами $r$ вращаются с угловыми скоростями $ω1$ и $ω2$ ( $ω1 > ω2$ ) в однородном магнитном поле с индукцией, перпендикулярной их плоскостям. Центры дисков с помощью проводников присоединены к конденсатору емкостью $C 1$ , а ободы - через скользящие контакты к конденсатору емкостью $C2$ . Конденсаторы изначально не заряжены. Ключ в цепи замыкают.
1) Найдите напряжения, которые установятся на конденсаторах.
2) Найдите количество теплоты, которое выделится на резисторе.

Показать ответ и решение

1) Найдём возникающее ЭДС на дисках, через работу сторонних сил $ℰ = A ст∕q$

∫ ∫ r r 1- A ст = qωxBdx = qωB xdx = 2qwBr 0 0

⇒ ℰ1 = 1w1Br2 ℰ2 = 1w2Br2 2 2

⇒ В устано вивш емся р еж и ме I = 0 ⇒

q1 = q2 ⇒

q = C1U1 q2 = C2U2

2) Закон Кирхгофа:

-q- -q- ℰ1 − ℰ2 = C + C 1 2

1-B (ω − ω )r2 = -q---= C1U1-(C1-+-C2-) 2 1 2 Cобщ C1C2

1 B (ω1 − ω2) r2C2 ⇒ U1 = ------------------- 2 C1 + C2

2 U = C1U1-= 1-B-(ω1 −-ω2)r-C1-- 2 C2 2 C1 + C2

3) Запишем закон сохранения энергии:

Q = Aист − ΔW

Aист = qℰ1 − qℰ2

q2 q2 Q = C1U1 (ℰ1 − ℰ2 ) −---- − ---- = 2C1 2C2

2 2 2 = 1B-(ω1-−-ω2)r-C1C2- ⋅ 1-Br2 (ω − ω ) − C1U-1-− C2U-2-= 2 C1 + C2 2 1 2 2 2

2 4 2 = 1-B--r-(ω1-−-ω2)-C1C2 8 C1 + C2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#50044

В электрической схеме, состоящей из батареи с ЭДС $ℰ$ = 20 В, резисторов $R1$ = 10 Ом, $R2$ = 20 Ом, $R3$ = 30 Ом и конденсатора (см. рисунок), замыкают ключ K.
1) Найти ток $I 0$ через резистор $R 3$ сразу после замыкания ключа.
2) Найти ток $IБ$ через батарею в тот момент времени, когда напряжение на конденсаторе равно $0,6ℰ$ .
Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
(МФТИ, 1999)

Источники: МФТИ, 1999

Показать ответ и решение

1) До замыкания ключа конденсатор был полностью заряжен, напряжение на нем было равно напряжению на параллельном резисторе $R2$ :

UC = --ℰR2--- R1 + R2

В начальный момент времени после замыкания ключа напряжение на резисторе $R3$ будет равно тому же значению, что и напряжения на резисторе $R2$ и конденсаторе (так как напряжение на конденсаторе скачком не меняется), тогда ток через $R 3$ будет равен:

ℰ R2 I0 = ------------- = 0,44 А (R1 + R2)R3

2) В момент времени, когда напряжение на конденсаторе станет равно $0,6ℰ$ , напряжение на резисторе $R1$ будет равно $ℰ − 0, 6ℰ = 0,4 ℰ$ , а ток на резисторе $R1$ и через батарею будет равен:

IБ = 0,4ℰ- = 0,8 А R1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#50045

В схеме, изображенной на рисунке, емкость каждого конденсатора равна $C$ . Вначале ключ разомкнут, конденсатор 1 заряжен до напряжения $U0$ , остальные конденсаторы не заряжены. Определите напряжение на каждом из конденсаторов после замыкания ключа.

Показать ответ и решение

Определим сначала емкость батареи, состоящей из конденсаторов 2-6. Конденсатор 6 включен между точками с равными потенциалами (закорочен), поэтому $U6 = 0$ . Очевидно,

C45 = C-; C345 = C + C- = 3C-; C2345 = -C-⋅ 1,5C-= 3C- 2 2 2 1,5C + C 5

После замыкания ключа имевшийся на первом конденсаторе заряд $CU 0$ распределяется между этим конденсатором и батареей $C2345$ (напряжение $U1$ на них одинаково). Согласно закону сохранения заряда

5U0 CU0 = (C + C2345)U1 ⇒ U1 = ---- 8

Тогда заряд батареи $C2345$ составит

q2345 = q2 = C2345U1 = 3CU0-- 8

Следовательно,

q 3U U U U2 = -2= ---0; U3 = U1 − U2 = --0; U4 = U5 = --0 C 8 4 5

Ответ:

05 Ток через конденсатор