01 Бесконечные цепи

Сопротивление последовательно соединенных резисторов находится как

где – количество резисторов, – сопротивление -ого резистора.
Тогда бесконечное количество резисторов создает бесконечное сопротивление.

Заметим, что цепь повторяется, тогда если – сопротивление всей цепи, то выделение первого участка не изменит сопротивление (цепь бесконечная)

Найдем сопротивление в красном эллипсе

Тогда сопротивление всей цепи

Преобразуем и получим уравнение

Получим уравнение

Решаем

Заменим бесконечную часть цепи на эквивалентную (см. рисунок), при этом учтем, что при отбрасывании одного повторяющегося участка от бесконечной цепи ее общее сопротивление не изменится. Сопротивление эквивалентного участка равно удвоенному сопротивлению всей цепи (так как при удвоении каждого сопротивления в цепи, сопротивление всей цепи также удваивается).

Составим уравнение:

Отсюда положительный корень

Преобразуем схему

Здесь можно решить 2 способами.
1) Заметить, что мост Уитстона сбалансирован и тогда ток через не течет

2) Найдем разность потенциалов между точками один по , другой по

Тогда

Отсюда 2 корня (сбалансированный мост),

Пусть сопротивление всей цепи , тогда, отделив 2 "внешних слоя"получим схему, изображенную на рисунке

Преобразуем схему в более понятную (красным обозначены резисторы, замещенные в первом рисунке)

Найдем разность потенциалов между точками и по путям и

Отсюда

Разность потенциалов между точками и

Получим квадратное уравнение

Цепь состоит из повторяющихся участков, перерисуем схему следующим образом:

Рассчитаем эквивалентные сопротивления.
параллельно соединено с :

последовательно соединено с :

параллельно соединено с :

последовательно соединено с :

Пусть искомое сопротивление . Тогда, отделив первую ячейку, мы получим бесконечную цепочку, сопротивление которой равно . Используя формулы для расчёта соединений сопротивлений, мы получаем уравнение:

откуда:

(Официальное решение ВсОШ)