Тема 2. Задачи на векторы

2.02 Операции над векторами и координатами

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на векторы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#67844

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c.$ Найдите длину вектора $⃗ ⃗a+ b− ⃗c.$

$xy⃗a⃗b⃗c$

Показать ответ и решение

Заметим, что по правилу параллелограмма $⃗a+ ⃗b= ⃗c:$

$xy⃗a⃗b⃗c$

Следовательно, искомый вектор равен

⃗a+ ⃗b− ⃗c= ⃗c− ⃗c= ⃗0

Тогда длина нулевого вектора равна 0.

Ответ: 0

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#67845

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c.$ Найдите длину вектора $⃗ ⃗a+ b+ ⃗c.$

$⃗⃗⃗xybca$

Показать ответ и решение

По правилу параллелограмма имеем $⃗a+ ⃗c= ⃗d:$

$⃗⃗⃗xybca ⃗d$

Заметим, что векторы $⃗b$ и $d⃗$ противоположно направлены, а их длины равны, следовательно, $⃗b= −d⃗.$ Значит, искомый вектор равен

⃗a+ ⃗c+ ⃗b= ⃗d+ ⃗b= ⃗d − ⃗d =⃗0

Тогда длина нулевого вектора равна 0.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#67846

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c.$ Известно, что $⃗ ⃗c =x ⋅⃗a+ y⋅b.$ Найдите $x + y.$

$xy⃗a⃗b⃗c$

Показать ответ и решение

Заметим, что по правилу треугольника $(− ⃗a)+⃗b= ⃗c:$

$xy−⃗b⃗c⃗a$

Следовательно,

⃗c= −1 ⋅⃗a + 1⋅⃗b

Отсюда получаем $x= − 1,$ $y = 1.$ Тогда $x+ y = 0.$

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#242

$ABCDEF$ — правильный шестиугольник со стороной длины 4, $O$ — центр описанной около него окружности. Найдите длину вектора $−O→A + −O−→B + −O−→C + −O−→D + −O−→E + −−O→F .$

$PIC$

Показать ответ и решение

Опишем около $ABCDEF$ окружность:

$PIC$

Так как равные хорды стягивают равные дуги, то

A⌣B = B⌣C = C⌣D =D⌣E = ⌣EF = ⌣FA

Тогда $⌣ ⌣ AF ED = ABCD,$ следовательно, $AD$ — диаметр и точки $A,$ $O$ и $D$ лежат на одной прямой.

При этом $AO = OD$ как радиусы, тогда $−O→A$ и $−O−→D$ равны по длине и противоположны по направлению. Значит, $−O→A = −−O−→D.$

Аналогично $−−→ −−→ OB = − OE$ и $−−→ −−→ OC = −OF$ , тогда

−O→A +−O−→B +−O−→C + −O−→D +−O−→E + −O−→F = = −−O−→D − −O−→E − −O−→F + −O−→D +−O−→E + −O−→F = ⃗0

Нулевой вектор имеет длину, равную 0.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#1567

На сторонах четырёхугольника $ABCD$ отложены векторы $−A→B,$ $−−B→C,$ $−−C→D,$ $−−→ DA.$ Найдите длину вектора $−→ −−→ −−→ −−→ AB + BC + CD + DA.$

Показать ответ и решение

По правилу треугольника имеем:

−→ −−→ −→ −→ −−→ −−→ AB + BC = AC, AC + CD =AD

Тогда получаем

−→ −−→ −−→ −−→ AB +BC + CD +DA = −→ −−→ −−→ = AC + CD + DA = −−→ −−→ −−→ −−→ = AD +DA = AD − AD = ⃗0

$PIC$

Нулевой вектор имеет длину, равную 0.

Вектор можно воспринимать как перемещение, тогда $−A→B + −B−→C$ — перемещение из $A$ в $B,$ а затем из $B$ в $C$ — в итоге это перемещение из $A$ в $C.$

При такой трактовке становится очевидным, что

−→ −−→ −−→ −−→ AB + BC + CD + DA = ⃗0

Это так, поскольку в итоге здесь из точки $A$ переместились в точку $A,$ то есть вектор такого перемещения есть $⃗0,$ а длина такого перемещения равна 0.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#562

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF.$ Пусть $−A→B = ⃗a,$ $−A→F =⃗b,$ тогда $−−→ ⃗ EF =x ⋅⃗a+ y⋅b,$ где $x$ и $y$ — некоторые числа. Найдите число, равное $x +y.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

По свойству правильного шестиугольника $AOEF$ — параллелограмм и $EF ∥AD,$ $ABOF$ — параллелограмм и $AB ∥F C.$ Тогда имеем:

−−→ −→ −−→ −→ −→ −→ EF =OA = OF +F A = BA −AF = −→ −→ ⃗ = −AB − AF = −⃗a− b

Отсюда получаем

x = −1, y = −1 ⇒ x +y = −2

Ответ: -2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1863

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF.$ Пусть $−A→B = ⃗a,$ $−A→F =⃗b,$ тогда $−−→ ⃗ BC =x ⋅⃗a+ y⋅b,$ где $x$ и $y$ — некоторые числа. Найдите число, равное $x+ y.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Отрезки $AD,$ $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. $BC ∥ AD$ и $ABCO$ — параллелограмм; $AF ∥BE$ и $ABOF$ — параллелограмм, следовательно,

−−→ −→ −→ −−→ −→ −→ ⃗ BC = AO = AB + BO =AB +AF = ⃗a +b

Таким образом, $x = 1,$ $y = 1,$ то есть $x + y = 2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1864

Дан правильный шестиугольник $ABCDEF.$ Пусть $−A→B = ⃗a,$ $−A→F =⃗b,$ тогда $−→ ⃗ AC = x ⋅⃗a+ y⋅b,$ где $x$ и $y$ — некоторые числа. Найдите число, равное $x+ y.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

−→ −→ −−→ −−→ AC = AB + BC = ⃗a+ BC

−−→ −→ −→ −−→ −→ −→ BC = AO = AB + BO =AB +AF = ⃗a +⃗b

Таким образом,

−→ AC = ⃗a+ ⃗a+ ⃗b= 2 ⋅⃗a +⃗b

Значит, $x= 2,$ $y =1,$ то есть $x+ y = 3.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#559

Дан параллелограмм $ABCD.$ Точки $K$ и $L$ лежат на сторонах $BC$ и $CD$ соответственно, причем $BK :KC = 3:1,$ а $L$ — середина $CD.$ Пусть $−A→B = ⃗a,$ $−−→ ⃗ AD =b,$ тогда $−−→ ⃗ KL = x⋅⃗a+ y⋅b,$ где $x$ и $y$ — некоторые числа. Найдите число, равное $x +y.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По правилу треугольника имеем:

−−→ −−→ −→ 1−−→ 1−−→ KL = KC + CL = 4BC + 2CD = 1−−→ 1−→ 1 1 = 4AD + 2BA = 4⃗b− 2⃗a

Таким образом, $x = − 12,$ $y = 14,$ то есть

x+ y = − 0,25

Ответ: -0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1862

Дан параллелограмм $ABCD.$ Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O.$ Пусть $−A→B = ⃗a,$ $−−A→D = ⃗b,$ тогда $−O→A = x ⋅⃗a + y⋅⃗b,$ где $x$ и $y$ — некоторые числа. Найдите число, равное $x+ y.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По свойствам параллелограмма имеем:

−→ 1−→ 1 −−→ −→ OA = 2CA = 2(CB + BA) = = 1(−−D→A + −B→A) = 1(− ⃗b− ⃗a)= − 1⃗a − 1⃗b 2 2 2 2

Отсюда получаем

1 1 x= − 2, y = −2

Тогда искомое число равно

x+ y = − 1

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#560

Дан параллелограмм $ABCD.$ Точки $M$ и $N$ лежат на сторонах $AD$ и $BC$ соответственно, причем $AM :MD = 2 :3,$ а $BN :NC = 3:1.$ Пусть $−A→B = ⃗a,$ $−−→ ⃗ AD =b,$ тогда $−−→ ⃗ MN = x ⋅⃗a+ y⋅b,$ где $x$ и $y$ — некоторые числа. Найдите число, равное $x⋅y.$

$PIC$

Показать ответ и решение

−−→ −−→ −→ −−→ 2−−→ −→ 3−−→ MN = MA + AB + BN = 5DA + AB + 4BC = 2−−→ −→ 3−−→ 2 3 7 = − 5AD + AB + 4BC = − 5⃗b+ ⃗a+ 4⃗b= ⃗a+ 20⃗b

Таким образом, $x = 1,$ $y = 270,$ то есть $x ⋅y = 0,35.$

Ответ: 0,35

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#561

Дан параллелограмм $ABCD.$ Точки $P$ лежит на диагонали $BD,$ точка $Q$ лежит на стороне $CD,$ причем $BP :PD = 4 :1,$ а $CQ :QD = 1:9.$ Пусть $−A→B = ⃗a,$ $−−A→D =⃗b,$ тогда $−−P→Q = x⋅⃗a+ y⋅⃗b,$ где $x$ и $y$ — некоторые числа. Найдите число, равное $x ⋅y.$

$PIC$

Показать ответ и решение

−−→ −−→ −−→ 1 −−→ 9 −−→ PQ = PD + DQ = 5 BD + 10DC = 1−−→ −−→ 9−→ 1−−→ −→ 9−→ = 5(BC +CD )+ 10AB = 5(AD +BA )+ 10AB = = 1(−−A→D − −A→B)+ -9−A→B = 1−−A→D + -7−A→B = 1⃗b + 7-⃗a 5 10 5 10 5 10

Таким образом, $x = 710,$ $y = 15,$ то есть $x⋅y = 0,14.$

Ответ: 0,14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2169

Дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $A,$ точка $O$ — центр описанной около данного треугольника окружности. Координаты вектора $−A→B = {1;1},$ $−A→C = {−1;1}.$ Найдите сумму координат вектора $−−→ OC.$

Показать ответ и решение

Так как треугольник $ABC$ — прямоугольный, то центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, то есть $O$ — середина $BC.$

$PIC$

Заметим, что

−B−→C = −A→C − −A→B ⇒ −B−→C = {− 1− 1;1 − 1} ={− 2;0}

Так как $−−→ −−→ OC = 1 BC, 2$ то $−−→ OC = {−1;0}.$

Значит, сумма координат вектора $−−→ OC$ равна $− 1+ 0= − 1.$

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#68036

На координатной плоскости изображен вектор $⃗a.$ Разложите вектор $⃗a$ в линейную комбинацию координатных векторов $⃗ i(1;0)$ и $⃗ j(0;1),$ то есть найдите такие числа $α$ и $β,$ что $⃗a= α⋅⃗i+ β ⋅⃗j.$ В ответе запишите число, равное $α ⋅β.$

$xy110⃗a$

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗a= (2− 5;1− 3)= (− 3;− 2).$ Следовательно, так как $⃗ i(1;0)$ и $⃗ j(0;1)$ — координатные векторы (см.рис.), то имеет место следующее разложение:

({ ⃗a = −3⃗i− 2⃗j ⇒ α = −3 (β = −2

$xy13250⃗a⃗i⃗j$

Тогда $α ⋅β = 6.$

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#68041

Даны два ненулевых вектора $⃗a$ и $⃗b.$ Известно, что длины векторов $⃗a, ⃗b$ и $⃗ ⃗a+ b$ равны. Найдите угол между векторами $⃗a$ и $⃗ b.$ Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Обозначим $⃗c= ⃗a+ ⃗b.$ Рассмотрим рисунок:

$⃗ ⃗a⃗cbBCA$

Получаем $△ABC,$ все стороны которого равны. Следовательно, все углы этого треугольника равны $60∘.$

$⃗a⃗a⃗bBCA$

Значит,

∠(⃗a,⃗b) =180∘− ∠BCA = 120∘

Ответ: 120

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#68042

Дан прямоугольник $ABCD,$ $AB = 6,$ $BC = 8.$ Точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Найдите длину вектора $−−→ −−→ AM + NC.$

$AMBNCD$

Показать ответ и решение

Рассмотрим рисунок, данный в условии.

$AMBNCD$

Из условия следует, что

−A−M→ = −M−→B, −−N→C = −B−→N

Тогда имеем:

−−A→M + −N−→C = −M−B→ + −−B→N = −M−N→

При этом $△MBN$ — прямоугольный с гипотенузой $MN.$ Тогда длина искомого вектора равна

−−→ −−→ ∘-2---2 |AM + NC |= MN = 3 + 4 = 5

Ответ: 5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#68043

Дана прямоугольная трапеция $ABCD,$ у которой $∠A = 90∘,$ $∠D = 30∘,$ $AB = 1.$ Найдите длину вектора $−−→ −−→ −→ AD + CB + BA.$

$ABCD$

Показать ответ и решение

Рассмотрим рисунок:

$AHBCD$

Заметим, что вектор

⃗a= −−A→D + −−C→B + −B→A = −−C→D

Следовательно, нужно найти длину отрезка $CD.$ Пусть $CH ∥ AB.$ Тогда $△CHD$ — прямоугольный, причем $∠D = 30∘,$ $CH =AB =1.$ Следовательно, $CD =2CH = 2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#68044

Даны два неколлинеарных вектора, длины которых равны $2$ и $3,$ а угол между этими векторами равен $1 arccos3.$ Найдите длину вектора, равного разности этих векторов.

Показать ответ и решение

Пусть $|⃗a|= 2,$ $|⃗b|= 3,$ $α = ∠(⃗a,⃗b)= arccos 1 . 3$ Тогда $⃗c= ⃗a − ⃗b$ выглядит следующим образом:

$⃗b⃗a⃗cα$

Получили треугольник со сторонами $2$ и $3$ и углом $α$ между этими сторонами. Нужно найти третью сторону этого треугольника. По теореме косинусов она равна

∘ ---------------- ∘ --2--⃗2--------⃗------ 2 2 1 |⃗c|= |⃗a| + |b| − 2 ⋅|⃗a|⋅|b|⋅cosα = 2 +3 − 2 ⋅2 ⋅3⋅3 =3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#68048

Дан треугольник $ABC,$ стороны которого равны 2, 3 и 4, а $AA1,$ $BB1$ и $CC1$ — его медианы. Найдите длину вектора $−−→ −−→ −−→ AA1 + BB1 +CC1.$

$CABBCA111$

Показать ответ и решение

Рассмотрим рисунок:

$⃗ CABCbBA⃗c⃗a111$

Заметим, что верен следующий факт:

−−→ 1 (−→ −→ ) AA1 = 2 ⋅ AB + AC , где A1 — середина BC

Следовательно, имеем

−A−A→1 = ⃗c− ⃗b −−→ −−→ −−→ −−→ BB1 = ⃗a− ⃗c ⇒ AA1 + BB1 +CC1 = ⃗0 −−→ CC1 = ⃗b− ⃗a

Тогда длина нулевого вектора равна $0.$

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#68049

Дан параллелограмм $ABCD$ и точка $X$ в плоскости этого параллелограмма. Известно, что длина вектора $−−→ −−→ XA +XC$ равна 7. Найдите длину вектора $−−→ −−→ XB +XD.$