2.02 Операции над векторами и координатами
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На координатной плоскости изображены векторы
и
Найдите длину
вектора
Заметим, что по правилу параллелограмма
Следовательно, искомый вектор равен
Тогда длина нулевого вектора равна 0.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На координатной плоскости изображены векторы
и
Найдите длину
вектора
По правилу параллелограмма имеем
Заметим, что векторы и
противоположно направлены, а их длины равны,
следовательно,
Значит, искомый вектор равен
Тогда длина нулевого вектора равна 0.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На координатной плоскости изображены векторы
и
Известно, что
Найдите
Заметим, что по правилу треугольника
Следовательно,
Отсюда получаем
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
— правильный шестиугольник со стороной длины 4,
— центр описанной около него окружности. Найдите длину вектора
Опишем около окружность:
Так как равные хорды стягивают равные дуги, то
Тогда следовательно,
— диаметр и точки
и
лежат на одной прямой.
При этом как радиусы, тогда
и
равны по длине и
противоположны по направлению. Значит,
Аналогично и
, тогда
Нулевой вектор имеет длину, равную 0.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На сторонах четырёхугольника отложены векторы
Найдите длину вектора
По правилу треугольника имеем:
Тогда получаем
Нулевой вектор имеет длину, равную 0.
Вектор можно воспринимать как перемещение, тогда —
перемещение из
в
а затем из
в
— в итоге это перемещение из
в
При такой трактовке становится очевидным, что
Это так, поскольку в итоге здесь из точки переместились в точку
то
есть вектор такого перемещения есть
а длина такого перемещения равна
0.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан правильный шестиугольник Пусть
тогда
где
и
— некоторые числа. Найдите число, равное
По свойству правильного шестиугольника — параллелограмм и
— параллелограмм и
Тогда имеем:
Отсюда получаем
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан правильный шестиугольник Пусть
тогда
где
и
— некоторые числа. Найдите число, равное
Отрезки
и
пересекаются в точке
и делятся этой точкой
пополам.
и
— параллелограмм;
и
—
параллелограмм, следовательно,
Таким образом,
то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан правильный шестиугольник Пусть
тогда
где
и
— некоторые числа. Найдите число, равное
Отрезки
и
пересекаются в точке
и делятся этой точкой
пополам.
и
— параллелограмм;
и
—
параллелограмм, следовательно,
Таким образом,
Значит,
то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан параллелограмм Точки
и
лежат на сторонах
и
соответственно, причем
а
— середина
Пусть
тогда
где
и
— некоторые числа. Найдите число,
равное
По правилу треугольника имеем:
Таким образом,
то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан параллелограмм Диагонали
и
пересекаются в точке
Пусть
тогда
где
и
— некоторые
числа. Найдите число, равное
По свойствам параллелограмма имеем:
Отсюда получаем
Тогда искомое число равно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан параллелограмм Точки
и
лежат на сторонах
и
соответственно, причем
а
Пусть
тогда
где
и
— некоторые числа. Найдите
число, равное
Таким образом,
то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан параллелограмм Точки
лежит на диагонали
точка
лежит на стороне
причем
а
Пусть
тогда
где
и
— некоторые числа.
Найдите число, равное
Таким образом,
то есть
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан прямоугольный треугольник с прямым углом
точка
—
центр описанной около данного треугольника окружности. Координаты
вектора
Найдите сумму координат вектора
Так как треугольник — прямоугольный, то центр описанной окружности
лежит на середине гипотенузы, то есть
— середина
Заметим, что
Так как то
Значит, сумма координат вектора равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На координатной плоскости изображен вектор Разложите вектор
в
линейную комбинацию координатных векторов
и
то есть найдите
такие числа
и
что
В ответе запишите число, равное
Найдем координаты вектора Следовательно, так как
и
— координатные векторы (см.рис.), то имеет место следующее
разложение:
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны два ненулевых вектора и
Известно, что длины векторов
и
равны. Найдите угол между векторами
и
Ответ дайте в
градусах.
Обозначим Рассмотрим рисунок:
Получаем все стороны которого равны. Следовательно, все углы этого
треугольника равны
Значит,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан прямоугольник
Точки
и
— середины
сторон
и
соответственно. Найдите длину вектора
Рассмотрим рисунок, данный в условии.
Из условия следует, что
Тогда имеем:
При этом — прямоугольный с гипотенузой
Тогда длина
искомого вектора равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана прямоугольная трапеция у которой
Найдите длину вектора
Рассмотрим рисунок:
Заметим, что вектор
Следовательно, нужно найти длину отрезка Пусть
Тогда
— прямоугольный, причем
Следовательно,
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Даны два неколлинеарных вектора, длины которых равны и
а угол между
этими векторами равен
Найдите длину вектора, равного разности этих
векторов.
Пусть
Тогда
выглядит
следующим образом:
Получили треугольник со сторонами и
и углом
между этими
сторонами. Нужно найти третью сторону этого треугольника. По теореме
косинусов она равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник стороны которого равны 2, 3 и 4, а
и
— его медианы. Найдите длину вектора
Рассмотрим рисунок:
Заметим, что верен следующий факт:
Следовательно, имеем
Тогда длина нулевого вектора равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан параллелограмм и точка
в плоскости этого параллелограмма.
Известно, что длина вектора
равна 7. Найдите длину вектора
Рассмотрим рисунок:
Так как — параллелограмм, то
— середина отрезков
и
Но тогда
— общая медиана для
и
Заметим, что существует следующий факт:
Следовательно,
Отсюда следует, что искомый вектор
Значит,