02 Посложнее

Великие стеклодувы Адриан, Бенни и Вальдемар выдувают из стекла, общий запас которого равен 16, три вида фигурок: икс(), игрек() и дзет().

Технология производства фигурок представлена в таблице:

Стеклодув
Андриан	1	2	4
Бенни	1	4	2
Вальдемар	2	1	4

где – количество единиц -го типа фигурок, которое способен изготовить стеклодув из 1 единицы стекла.

а) Выведите уравнение КПВ цеха, считая, что стекло можно распределить в любой пропорции между работниками.

б) Известно, что КПВ соседнего цеха описывается уравнением (стеклодувы из второго цеха не умеют производить фигурки типа икс). Фабрика продает фигурки только наборами, состоящими из фигурок всех типов в пропорции .

Какое максимальное целое количество наборов сможет изготовить фабрика, если стекло нельзя транспортировать между цехами?

Представьте, что вам сказали коэффициент Джини, характеризующий неравенство в распределении доходов в России, этот коэффициент составил 0,5.

Вася Пупкин, ворвавшийся в ваш личный кабинет, где вы размышляли насчет того, как же могла выглядеть кривая Лоренца, ткнул в случайную точку внутри квадрата, образованного неравенствами и (где – доля беднейших жителей страны, – доля в общем доходе страны, которой владеет доля беднейшего населения), а вы, профессионально проведя расчеты, воскликнули: "А эта точка и правда могла принадлежать кривой Лоренца! Правда, точный вид этой кривой восстановить всё равно не удастся мало данных"

Найдите вероятность того, что Вася Пупкин угадал точку, которая могла принадлежать кривой Лоренца.

Решив проблемы с оценкой уровня неравенства (отсылка к задаче Удачливый Василий), вы удостоились возможности проанализировать экспортные доходы (в размере ) национальной экономики, которая потребляет только экспортный товар (самостоятельно производить этот товар страна не способна), продавая по ценам блага в соответствии с кривой производственных возможностей, описываемой функцией .

Некоторое время подумав, вы построили кривую (синяя линия) в координатах , которая отражает различные пары цен, при которых максимальная выручка от экспорта одинакова в каждой точке кривой. Вы отправили полученный график вашему руководству, однако оказалось, что Василий решал ту же задачу и получил другую кривую (красная линия).

Известно, что кто-то из вас допустил ошибку в расчетах, или вы, или ваш коллега Василий. Сможете ли вы выяснить, кто допустил ошибку до того, как это сделает руководство?

Однажды в Цветочном городе на аллее Ромашек встретились Винтик со Шпунтиком, который в последнее время увлекся экономикой, а именно вопросом, как оценить неравенство в распределении доходов в их городке. Шпунтик провел необходимые расчеты и поведал текущее положение дел.

Винтик мало что заполнил, и, придя к Незнайке в гости, сообщил: "Разговаривал я тут со Шпунтиком, он мне сказал, что кривая Лоренца, которая отражает, какой долей от совокупного дохода города владеет доля беднейших его жителей, описывается каким-том многочленом вида (). А ещё он назвал значение того самого коэффициента Джини, но я точно не помню это число, уверен только в одном - оно было точно не меньше . Эх... Память подводит, не могу вспомнить параметры". Незнайка отлично знал принципы построения кривой Лоренца и вычисления коэффициента Джини, благодаря чему понял, что данных Винтика должно хватить для нахождения параметров многочлена.

Действительно, проведя некоторые рассуждения, Незнайка воскликнул: "Я знаю! Параметры были такие...". Какие же значения параметров назвал Незнайка?

Рассмотрим садовое товарищество, организованное в виде кольцевых дорожек, вблизи которых расположены дома (см. рисунок).

На -ой дорожке (считая от центра) живут идентичных дачников. Суммарный доход, получаемый жителями -го кольца, равен млн руб., где – количество (не менее двух) дорожек в садовом товариществе.

а) Может ли коэффициент Джини, отражающих неравенство в распределении доходов между дачниками, быть равен 1/4?

б) Может ли коэффициент Джини быть равным 4/9?

в) Определите верхнюю границу коэффициента Джини.

Боб (агент 1) и Джон (агент 2) очутились на необитаемом острове. Ребятам приходится питаться рыбой() и кокосами(), которыми Боб владеет в размере , а Джон - в размере .

Известно, что предпочтения в потреблении рыбы и кокосов описываются функциями полезности: и для Боба и Джона соответственно.

a) Вечером ребята встретились у костра и, поразмышляв, решили перераспределить съестное между собой. Назовем распределение кокосов и рыбы неэффективным, если ребята могут перераспределить продукты таким образом, что никому не станет хуже и хотя бы одному из них станет лучше. В противном случае будем называть распределение между ребятами эффективным. Является ли распределение суммарного запаса продуктов эффективным? А распределение ?

б) Назовем множество всех распределений съестного, удовлетворяющих критерию эффективности. Определите множество .

в) Джон предложил распределить съестное таким образом, чтобы суммарное благосостояние было максимальным. Если Боб согласится на такое распределение, то сколько рыбы и кокосов он получит?

г) Боб, поразмышляв некоторое время, предложил так распредилить блага, чтобы величина была максимальной. Если Джон согласиться на такое распределение, то сколько рыбы и кокосов он получит?

Рассмотрим кривые индивидуального спроса и . Известно, что при цене эластичности спроса первой и второй группы составляют и соотвественно.

а) Сравните предельные выручки первой и второй группы ( и ) в точке .

б) Положим – предельная выручка на суммарном спросе в точке . Сравните величины , и .

Фирма "Каскад"работает на совершенно-конкурентном рынке труда и монопольном рынке готовой продукции, спрос на которую описывается функцией , где - выпуск монополиста, - цена готовой продукции. Каскад, работая с производственной функцией , где - численность рабочих, несет только издержки на труд.

а) Выведите функцию индивидуального спроса на труд и постройте её в осях .

б) Государство в целях повышения уровня занятости вводит для тех фирм, которые наймут не менее работников субсидию ден. ед за каждого нанятого сотрудника. Выведите функцию индивидуального спроса на труд и постройте её в осях в новых условиях.

в) Ответьте на вопрос пункта (б) в условиях введения потоварной субсидии в размере 20 ден. ед. для тех фирм, которые наймут не менее работников. При решении пункта (в) считайте, что субсидия пункта (б) не вводится.

Фирма «Красен Ясен» производит товар , используя труд мигрантов и местных работников. Так, если фирма наймет мигрантов, то они смогут произвести единиц продукции, а местных рабочих за то же время смогут произвести единиц.

Известно, что исследуемая фирма - монопсонист на рынке труда и наблюдает функции предложения:

где и - уровни заработных плат мигрантов и местных рабочих соотвественно.

а) Определите оптимальный уровень заработной платы , если фирма реализует выпуск на конкурентном рынке по цене ден. ед. и назначает единую заработную плату как местным работникам, так и мигрантам.

б) Назовем максимальную сумму, которую готова заплатить фирма за организацию системы оценки качества компетенций, в таком случае фирма сможет назначать разные заработные платы для различных категорий работников. Сможет ли фирма увеличить прибыль по сравнению с пунктом (а)? Если да, то определите величину .

в) Предложим, что фирма все-таки организовала систему оценки компетенций. Государство в целях сокращения доли труда мигрантов на производстве ввело налог: если фирма наймет , то заплатит налог в размере ден. ед. Какое количество рабочих наймет фирма и какие заработные платы она установит в условиях государственного вмешательства?

Господин M потребляет всего три блага: жареную картошку (), майонез () и агрегированное благо (). Полезность, получаемая от потребления каждого из них, описывается функцией: . Известно, что доход потребителя составляет д.ед, а рыночные цены на все блага равны 1.

а) Постройте карту кривых безразличия в координатах , если г. М максимизирует суммарную полезность .

б) Определите максимально возможный уровень полезности при различных значениях .

Рассмотрим рынки товаров и , спрос на каждом из которых описывается функциями и . Фирма «Абсервант» является монополистом на рынке товара и совершенным конкурентом на рынке , где конкурентное окружение имеет суммарную функцию предложения .

Известно, что для производства и необхимы ресурсы альфа и бета. Так, для производства одной единицы икса необходима 1 единица альфы и 2 единицы беты, а для производства одного игрека 2 единицы альфы и одна единица беты. "Абсервант"закупает необходимые ресурсы на монопсонистическом рынке факторов производства, функции предложения на каждом из которых описываются уравнениями и .

Определите параметры рыночного равновесия на двух рынках готовой продукции.

На рынке елочных игрушек установилось равновесие при цене . Выяснилось, что модули ценовых эластичностей индивидуальных спросов в равновесной точке составляют .

Юный экономист Василий посчитал ценовую эластичность суммарного спроса в равновесной точке и получил ответ , где .

Можно ли по имеющимся данным точно определить, допустил ли Василий ошибку в расчетах?

Монополист Альфа занимается производством экологически безопасных пакетов, спрос на которые описывается зависимостью , где - количество пакетов в тысячах. Известно, что если фирма произведет тыс. пластиковых пакетов, то понесет издержки в размере ден. ед.

Правительство в целях повышения качества окружающей среды субсидировало данное производство. Так, за каждую произведенную тысячу пакетов фирма получает ден. ед. в виде субсидии.

а) Определите совокупный выпуск при различных значениях .

б) Выведите уравнение кривой, отражающей государственные расходы при различных значениях . Постройте полученную кривую.

Рассмотрим экономику с жителями, в которой -ый житель имеет доход в размере ден. единиц.

Определите верхнюю границу коэффициента Джини, характеризующего степень дифференциации доходов среди жителей данной страны.

Примечание: значение – наперед заданная величина, то есть параметр задачи. Ваш ответ должен содержать .

Рассмотрим проект, предполагающий инвестиции в размере и денежные потоки (доход или убытки) в размерах и через 1 и 2 года соотвественно. Известно, что инвестор , принимая во внимание ставку дисконтирования , не принял бы данный проект, а инвестор , рассматривающий ставку , принял бы проект. Считайте, что оба инвестора принимали решения, рассчитывая чистую приведенную стоимость ().

а) Какие факторы могут влиять на ставку дисконтирования, с помощью которой инвесторы могут принимать решения о принятии проектов?

б) Определите возможные пары , удовлетворяющих условиям задачи, при различных значениях .

в) Как известно, инвесторы могут не только ориентороваться на величину чистой приведенной стоимости. Они используют и другие показатели, например, внутренняя норма доходности, окупаемость, балансовая рентабельность, индекс рентабельности и другие. На диаграмме ниже вы можете наблюдать результаты опроса финансовых директоров о том, какие методы чаще всего применяются в их компаниях для оценки инвестиционных проектов.

Источник: J. R. Graham and C. R. Harvey. The Theory and Practice of Finance: Evidence from the Field. Journal of Financial Economics 61 (2001), С. 187–243, 2001

Назовите и опишите причины, по которым чистая приведенная стоимость не может быть универсальным показателем, с помощью которого инвесторы могут принимать решения о принятия проектов?

На одном предприятии система определения уровней производства на двух заводах происходит следующим образом: менеджер Аркадий говорит генеральному директору величину расходов () на производство , после чего директор определяет согласовывать бюджет или нет. Известно, что издержки на первом и втором заводе описываются функциями и . Конечно, директор может сказать сумму большую, чем он мог бы потратить на производство, главное, чтобы существовала такая пара , чтобы . Целевой уровень объема производства составляет 100 единиц.

а) Определите, какую максимальную сумму может заработать менеджер, если он забирает себе всю сумму, которая у него остается в результате завышения расходов.

б) Спустя 2 года подобных махинаций, директор начал что-то подозревать. Менеджер таким образом оценивает вероятность разоблачения (в этом случае он получает нулевой доход от сделки):

где – максимальные суммарные издержки производства единиц продукцици, – минимальные издержки производства 100 единиц.

Какое значение суммарных издержек назовет Аркадий в новых условиях?

Страна А производит товары 3 типов: икс(), игрек() и зет(). Известно, что 1 единица товара первого типа производится из 1 единицы сырья, второго - из двух, а третьего - из трех. Запас сырья в стране А составляет 180 единиц. По соседству расположена страна B, которая также производит икс(), игрек() и зет() так, что для производства одной единицы икса требуется одна единица сырья, второго - три единицы, третьго - две. Запас сырья в стране А составляет 240 единиц. Сырье невозможно транспортировать между странами.

а) Определите уравнения индивидуальных КПВ в странах A и B.

б) Страны решили объединить усилия и произвести иксы, игреки и зет таким образом, что суммарный уровень производства иксов совпал с суммарным уровнем производства игреков и составил 70 единиц. Какое наибольшее количество товара зет способна изготовить объединенная страна?

Студия звукозаписи BBTS, состоящая из двух независимых отделов, планирует свою работу на следующий год. Для качественной записи звука, а именно рэпа () и попсы (), каждому отделу необходимы студийные площади и труд звукорежиссеров.

Общая площадь студии составляет 10 м̂2, которую можно делить в любой пропорции между отделами. Также на студии работают звукорежиссеры, трудовой запас которых оценивается в единиц, труд звукорежиссеров также можно распределять в любой пропорции между отделами. Известно, что производственная функция каждого отдела описывается уравнениями и , где – студийная площадь, которую использует -ый отдел, и – трудовые единицы вовлеченные в производство рэпа и попсы в -ом отделе соответственно.

Постройте КПВ студии в кооррдинатах , где – суммарное производство рэпа и – суммарное производство попсы.

Петр и Глеб изготавливают ножи () и напильники (). Петр за 1 час способен произвести 1 нож или 1 напильник (или любую линейную их комбинацию). Глеб же за 1 час способен проивести половину ножа или 1 напильник (аналогично, или любую линейную их комбинацию). Известно, что если ребята работают в команде, то есть одноврменно производят один вид продукции, то производительность труда каждого из них увеличивается в раз!

Постройте суммарную КПВ ребят при различных значениях , если каждый из них может работать не более 10 часов.

Государство Московия занимается производством всего двух благ (икса и игрека) с использованием технологий двух заводов, расположенных в разных городах, и ресурсов альфа и бета. Первому заводу для производства одного икса требуются две единицы ресурса альфа и четыре единицы ресурса бета, а для производства одного игрека необходимы четыре единицы альфа и две единицы бета. Второму же заводу для производства одного икса требуются четыре единицы альфа и две единицы бета, а для производства одного игрека – две единицы альфа и четыре единицы бета.

а) Постройте КПВ Московии в координатах , где – суммарный объем производства икса, – суммарный объем производства игрека, если известно, что запасы как фактора альфа, так и бета на каждом из заводов составляют единиц и являются абсолютно немобильными, то есть не могу быть перемещены между заводами.

б) Предположив мобильность ресурса альфа, постройте КПВ Московии в новых условиях.

в) Постройте КПВ Москвии, предположив мобильность всех факторов производства.