Задачи №3 из ЕГЭ 2024 —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 3. Геометрия в пространстве (стереометрия)

3.00 Задачи №3 из ЕГЭ 2024

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия в пространстве (стереометрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90800

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A,$ $B,$ $C,$ $D,$ $B1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCDA1B1C1D1,$ у которого $AB = 2,$ $BC = 5,$ $BB1 = 3.$

$PIC$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

Многогранник, объём которого необходимо найти, является пирамидой, высотой которой является $BB1,$ а основание представляет собой прямоугольник $ABCD.$ Следовательно, искомый объём равен

1 1 VABCDB1 = 3 ⋅BB1 ⋅AB ⋅BC = 3 ⋅3⋅2⋅5 = 10

Ответ: 10

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#90803

Объём куба равен 32. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

$PIC$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дагестан

Показать ответ и решение

Данная призма имеет такую же высоту, что и куб. Тогда поскольку куб — это тоже призма, то объём призмы будет во столько раз меньше объёма куба, во сколько раз будет меньше его основание, чем основание куба, ведь для призмы $V = Sh.$

Заметим, что плоскость проходит по средней линии основания, ведь прямая, проходя параллельно боковому ребру через середину ребра верхнего основания, будет также проходить и через середину ребра нижнего основания. А поскольку средняя линия отсекает четверть площади от треугольника, площадь которого составляет половину площади основания куба, то основание призмы в 8 раз меньше основания куба. Таким образом, объём призмы равен

32 :8= 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90806

Найдите объём многогранника, вершинами которого являются вершины $A,$ $B,$ $C,$ $B1$ правильной треугольной призмы $ABCA1B1C1,$ площадь основания которой равна 6, а боковое ребро равно 9.

$PIC$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

1 1 VABCB1 = 3SABC ⋅BB1 = 3 ⋅6 ⋅9= 18.

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90841

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём шара равен 48. Найдите объём конуса.

$PIC$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день

Показать ответ и решение

Поскольку радиус основания конуса равен радиусу шара, то основанием конуса служит большой круг шара, то есть круг, который содержит в себе центр шара. Таким образом, высота такого конуса также равна радиусу шара $R.$ По формуле объёма конуса получим

V = 1πR2 ⋅R = 1πR3 конус 3 3

При этом объём шара равен $4πR3, 3$ то есть в 4 раза больше. Тогда объем конуса равен

Vконус = V-шар = 48= 12 4 4

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90842

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объём конуса равен 12. Найдите объём шара.

$PIC$

Источники: ЕГЭ 2024, резервный день

Показать ответ и решение

V = 1πR2 ⋅R = 1πR3 конус 3 3

При этом объём шара равен $4 πR3, 3$ то есть в 4 раза больше. Тогда объем шара равен

Vшар = 4⋅Vконус = 4⋅12= 48

Ответ: 48

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#57722

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA1B1C1D1$ известно, что $AB = 9,$ $BC =7,$ $AA1 = 6.$ Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки $A,$ $B,$ $C,$ $B1.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Многогранник, объем которого необходимо найти, является прямоугольной треугольной пирамидой, высота которой равна $BB1,$ а основание представляет собой прямоугольный треугольник $ABC.$ Следовательно, этот объем равен

1 1 1 1 VB1ABC = 3 ⋅BB1 ⋅2 ⋅AB ⋅BC = 3 ⋅6⋅ 2 ⋅9⋅7= 63.

Ответ: 63

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел