Арифметическая прогрессия (страница 2)

Найдем разность арифметической прогрессии: \(d=32-35=-3\).
Тогда по формуле для арифметической прогрессии \(a_n=a_1+(n-1)d\). Найдем первый отрицательный член этой прогрессии: \(a_n<0\quad\Rightarrow\) \[35+(n-1)\cdot (-3)<0\quad\Rightarrow\quad n>12\,\frac23\] Следовательно, все члены с номерами \(n>12\,\frac23\), то есть 13-ый, 14-ый, 15-ый и т.д., будут отрицательными. Значит, первый отрицательный имеет номер 13.
Найдем его: \(a_{13}=35+12\cdot (-3)=-1\).

(Для решения этой задачи можно просто найти закономерность в данной последовательности и продолжить ряд до нужного члена: \(35; \ 32; \ 29; \ 26; \ 23; \ 20; \ \dots\). Но это слишком долго.)

Заметим, что последовательность числа мест в ряду – арифметическая прогрессия, причем ее разность \(d=2\). Тогда по формуле \(a_9=a_1+8d=45+8\cdot 2=61\).

(Для решения этой задачи можно просто продолжить последовательность до нужного члена: \(45; \ 47; \ 49; \ 51; \ 53; \ 55; \ \dots\). Но это слишком долго.)

Из основной формулы для арифметической прогрессии \(a_n=a_1+(n-1)d\) следует, что \[a_7=a_1+6d\quad\Rightarrow\quad d=\dfrac{a_7-a_1}6=\dfrac{7-1}6=1\]

Из основной формулы для арифметической прогрессии \(a_n=a_1+(n-1)d\) следует, что \[a_{13}=a_1+12d\quad\Rightarrow\quad d=\dfrac{a_{13}-a_1}{12}=\dfrac{96-(-24)}{12}=10\]

Воспользуемся формулой \(n\)-го члена прогрессии \(a_n=a_1+(n-1) \cdot d\), где \(d\) — разность арифметической прогрессии.

\[\begin{aligned} a_{12} = -5,3+11 \cdot 2,4,\\ a_{12} =21,1. \end{aligned}\]

Воспользуемся формулой суммы первых \(n\) членов прогрессии \(S_n=\frac{2a_1+(n-1) \cdot d}{2}n\), где \(d\) — разность арифметической прогрессии.

\[\begin{aligned} S_{13} = \frac{2 \cdot 25,6 + 12 \cdot (-3,8)}{2} \cdot 13,\\ S_{13} = \frac{5,6}{2} \cdot 13,\\ S_{13} = 36,4. \end{aligned}\]

Из формулы следует, что \(a_{15}=5,6+4,4 \cdot 15\) или \(a_{15}=71,6\).