Использование различных формул площадей многоугольников (страница 3)

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, тогда \(\sin{\angle COD} = \sin{(\mathrm{arcsin}\, 0,85)} = 0,85\), тогда \[S_{ABCD} = 0,5\cdot 0,85\cdot 5 \cdot 4 = 8,5.\]

Применим формулу Герона для поиска площади треугольника:  

\(S=\sqrt{\dfrac{6+5+\sqrt{13}}2\cdot \left(\dfrac{6+5+\sqrt{13}}2-\sqrt{13}\right)\cdot \left(\dfrac{6+5+\sqrt{13}}2-5\right)\cdot \left(\dfrac{6+5+\sqrt{13}}2-6\right)}=\)  

\(=\sqrt{\dfrac{6+5+\sqrt{13}}2\cdot \dfrac{6+5-\sqrt{13}}2\cdot \dfrac{6+\sqrt{13}-5}2\cdot \dfrac{5+\sqrt{13}-6}2}=\)  

\(=\sqrt{\dfrac{11+\sqrt{13}}2\cdot \dfrac{11-\sqrt{13}}2\cdot \dfrac{\sqrt{13}+1}2\cdot \dfrac{\sqrt{13}-1}2}=\dfrac14\cdot \sqrt{\left(11^2-(\sqrt{13})^2\right)\cdot \left((\sqrt{13})^2-1^2\right)}=\)  

\(=\dfrac14\cdot \sqrt{(121-13)(13-1)}=\dfrac14\cdot \sqrt{(4\cdot 3\cdot 9)\cdot (4\cdot 3)}=\dfrac14\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 2=9\).

По формуле Герона квадрат площади треугольника равен

\(S^2=\dfrac{7+11+6\sqrt6}2\cdot \left(\dfrac{7+11+6\sqrt6}2-6\sqrt6\right)\cdot \left(\dfrac{7+11+6\sqrt6}2-7\right) \cdot \left( \dfrac{7+11+6\sqrt6}2-11\right)=\)  

\(=\dfrac{7+11+6\sqrt6}2\cdot \dfrac{7+11-6\sqrt6}2\cdot \dfrac{11+6\sqrt6-7}2\cdot \dfrac{7+6\sqrt6-11}2=\)  

\(=\dfrac1{16}\cdot (18+6\sqrt6)(18-6\sqrt6)(6\sqrt6+4)(6\sqrt6-4)=\)  

\(=\dfrac1{16}\cdot 6^2\cdot (3+\sqrt6)(3-\sqrt6)\cdot ((6\sqrt6)^2-4^2)=\dfrac{6^2\cdot 3\cdot 200}{16}=1350\).

Рассмотрим этот треугольник. Проведем высоту к стороне, равной \(22\):

Обозначим эту высоту за \(h\), а отрезки, на которые она разбила сторону, за \(x\) и \(22-x\). Запишем теорему Пифагора для двух получившихся прямоугольных треугольников:

\(\begin{cases} 197=h^2+(22-x)^2\\ 65=h^2+x^2 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} 197-65=(22-x)^2-x^2\\ 65=h^2+x^2 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \)  

\(\Leftrightarrow \quad \begin{cases} 132=(22-x-x)(22-x+x)\\ 65=h^2+x^2 \end{cases} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x=8\\ h=1 \end{cases}\)  

Таким образом, площадь этого треугольника равна

\[S=\dfrac12\cdot 1\cdot 22=11\]

Треугольники \(OMH\) и \(OHB\) подобны по углам, т.к. \(\angle OHM = \angle OBH\), а \(\angle O\) - общий, тогда:  

\[\dfrac{OM}{OH} = \dfrac{OH}{OB}\Rightarrow OH^2 = OM\cdot OB\Rightarrow OH = 8\sqrt{2}.\]

\[S_{OHM} = 0,5\cdot 8\cdot \sqrt{2}\cdot 4\cdot \sin{45^\circ} = 16.\]

В параллелограмме противоположные углы равны, а односторонние углы в сумме составляют \(180^{\circ}\).

Так как \(\sin{(\pi - \alpha)} = \sin{\alpha}\), то \(\sin{\angle A} + \sin{\angle B} + \sin{\angle C} + \sin{\angle D} = 4 \sin{\angle A}\), откуда находим \(\sin{\angle A} = 0,81\).

Площадь параллелограмма равна произведению двух его непараллельных сторон на синус угла между ними, тогда \[S_{ABCD} = 6\cdot 5\cdot 0,81 = 24,3.\]

Рассмотрим трапецию \(ABCD\), где \(AB=12, CD=12\sqrt5\), \(\angle A=45^\circ, \angle B=135^\circ\), и проведем в ней высоты \(BH\) и \(CK\). При этом трапеция может выглядеть двумя разными способами.

1 способ.

Заметим, что \(\triangle ABH\) – прямоугольный и равнобедренный, тогда \[BH=AH=\dfrac{AB}{\sqrt2}=\dfrac{12}{\sqrt2}=6\sqrt2\]

Значит, из прямоугольного \(\triangle DCK\) можно найти \(KD\):

\[KD^2=CD^2-CK^2=(12\sqrt5)^2-(6\sqrt2)^2=648 \quad \Rightarrow \quad KD=\sqrt{9\cdot 9\cdot 4 \cdot 2}=18\sqrt2\]

Т.к. площадь трапеции равна \(156\), то имеем следующее уравнение:

\[\dfrac{6\sqrt2+18\sqrt2+x+x}2\cdot 6\sqrt2=156 \quad \Rightarrow \quad x=\sqrt2\]

Тогда \(BC:AD=(\sqrt2):(25\sqrt2)=1:25\).

2 способ.

В этом случае, поступая аналогично первому способу, находим \(CK=DK=BH=6\sqrt2\), \(AH=18\sqrt2\), \(AD=18\sqrt2+x-6\sqrt2=12\sqrt2+x\).

Из уравнения \(156=\dfrac{12\sqrt2+x+x}2\cdot 6\sqrt2\) находим \(x=7\sqrt2\).

Значит, \(BC:AD=(7\sqrt2):(19\sqrt2)=7:19\).

Т.к. \(\frac1{25}<\frac7{19}\), то в ответ пойдет \(\frac1{25}=0,04\).