Окружность, вписанная в многоугольник или угол (страница 4)
Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник/угол, если она касается всех сторон этого многоугольника/угла.
Тогда многоугольник/угол называется описанным около окружности.
\(\blacktriangleright\) В любой треугольник можно вписать окружность. Ее центр лежит на пересечении биссектрис треугольника (рис. 1).
Площадь описанного треугольника ищется по формуле \[{\Large{S_{\triangle}=p\cdot r}},\]
где \(p\) – полупериметр.
\(\blacktriangleright\) Если в прямоугольный треугольник вписана окружность, \(a, b\) – катеты, \(c\) – гипотенуза, \(r\) – радиус этой окружности, то верна формула: \[{\large{r=\dfrac{a+b-c}2}}\] 
\(\blacktriangleright\) Если в выпуклый четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.
И наоборот: если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность (рис. 2).
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов.
Площадь описанного четырехугольника ищется по формуле
\[{\large{S_{\text{опис.4-к}}=p\cdot r}},\]
где \(p\) – полупериметр.
\(\blacktriangleright\) Если в параллелограмм вписана окружность, то он – ромб (рис. 3).
\(\blacktriangleright\) Если в прямоугольник вписана окружность, то он – квадрат (рис. 4).
\(\blacktriangleright\) Если в угол вписана окружность, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла (рис. 5).
Окружность вписана в угол \(B\), равный \(60^\circ\). Найдите расстояние от вершины угла до центра этой окружности, если расстояние между точками касания окружности и сторон угла равно \(2\sqrt3\).
Обозначим точки касания окружности и сторон угла за \(A\) и \(C\). Тогда известно, что \(AC=2\sqrt3\). Пусть также \(O\) – центр окружности. То есть необходимо найти \(OB\).
\(OA\) – радиус окружности, причем \(OA\perp BA\) (т.к. \(BA\) – касательная, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).
Рассмотрим \(\triangle ABC\): он равнобедренный (\(AB=BC\) как отрезки касательных, проведенных из одной точки), следовательно, \(\angle A=\angle C=0,5\cdot(180^\circ-60^\circ)=60^\circ\). Таким образом, он равносторонний, следовательно, \(AB=AC=2\sqrt3\).
Т.к. окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть \(\angle ABO=30^\circ\). Тогда из прямоугольного \(\triangle ABO\):
\[\cos 30^\circ=\dfrac{BA}{OB}=\dfrac{2\sqrt3}{OB} \quad \Rightarrow \quad OB=2\sqrt3\cdot \dfrac2{\sqrt3}=4.\]
Окружность вписана в угол \(B\), равный \(90^\circ\). Найдите расстояние от вершины угла до центра этой окружности, если радиус этой окружности равен \(\sqrt2\).
Обозначим одну из точек касания окружности и сторон угла за \(A\). Пусть также \(O\) – центр окружности. То есть необходимо найти \(OB\).
\(OA=\sqrt2\) – радиус окружности, причем \(OA\perp BA\) (т.к. \(BA\) – касательная, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).
Т.к. окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть \(\angle ABO=45^\circ\). Тогда прямоугольный \(\triangle ABO\) является равнобедренным, то есть \(AB=OA=\sqrt2\). По теореме Пифагора:
\[OB=\sqrt{OA^2+AB^2}=\sqrt{\sqrt2^{\,2}+\sqrt2^{\,2}}=2.\]
Окружность вписана в угол \(B\), равный \(90^\circ\), причем \(A,C\) – точки касания окружности со сторонами этого угла. Найдите площадь треугольника \(ABC\), если радиус этой окружности равен \(10\sqrt2\).
Пусть \(O\) – центр окружности.
\(OA=10\sqrt2\) – радиус окружности, причем \(OA\perp BA\) (т.к. \(BA\) – касательная, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).
Т.к. окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть \(\angle ABO=45^\circ\). Тогда прямоугольный \(\triangle ABO\) является равнобедренным, то есть \(AB=OA=10\sqrt2\). Т.к. отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то \(BC=AB=10\sqrt2\). Следовательно, площадь прямоугольного треугольника \(ABC\) равна
\[S_{\triangle ABC}=\dfrac12\cdot AB\cdot BC=\dfrac12\cdot 10\sqrt2\cdot 10\sqrt2= 100.\]
Окружность вписана в угол \(B\), равный \(90^\circ\), причем \(A,C\) – точки касания окружности со сторонами этого угла. Найдите \(AC\), если радиус этой окружности равен \(5\sqrt2\).
Пусть \(O\) – центр окружности.
\(OA=5\sqrt2\) – радиус окружности, причем \(OA\perp BA\) (т.к. \(BA\) – касательная, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).
Т.к. окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть \(\angle ABO=45^\circ\). Тогда прямоугольный \(\triangle ABO\) является равнобедренным, то есть \(AB=OA=5\sqrt2\). Т.к. отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то \(BC=AB=5\sqrt2\). Следовательно, по теореме Пифагора
\[AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{2AB^2}=AB\cdot \sqrt2=5\sqrt2\cdot \sqrt2=10.\]
В четырёхугольнике \(ABCD\): \(AB = 5\), \(BC = 6\), \(CD = 8\), \(AD = 7\), точка \(O\) лежит на биссектрисах углов \(A\) и \(B\). Найдите разность расстояний от точки \(O\) до \(BC\) и от точки \(O\) до \(CD\).
Если суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность, следовательно, в \(ABCD\) можно вписать окружность.
Так как в описанном четырёхугольнике биссектрисы всех его углов пересекаются в одной точке – центре вписанной в него окружности, то \(O\) – центр вписанной в \(ABCD\) окружности, следовательно, расстояния от точки \(O\) до \(BC\) и от точки \(O\) до \(CD\) равны и их разность равна \(0\).
