Правильный шестиугольник

Т.к. центр описанной около правильного шестиугольника окружности есть точка пересечения больших диагоналей, то он лежит на отрезке \(AD\), то есть \(AD\) – диаметр описанной окружности. Т.к. радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то угол между касательной и \(AD\) равен \(90^\circ\).

По свойству правильного шестиугольника радиус \(r\) вписанной окружности равен перпендикуляру, проведенному из центра правильного шестиугольника (центр вписанной и описанной окружности) к стороне шестиугольника; причем этот перпендикуляр падает в середину стороны.

Также по свойству правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен его стороне \(a\). Тогда из прямоугольного треугольника:

\[a^2=\left(\frac a2\right)^2+r^2 \quad \Rightarrow \quad a=\dfrac 2{\sqrt3}\,r \quad\Rightarrow \quad a=\dfrac2{\sqrt3}\cdot \sqrt{12}=4\]

Таким образом, и радиус описанной окружности равен \(4\).

Если провести все большие диагонали правильного шестиугольника, то они пересекутся в одной точке, которая и будет центром описанной около него окружности (свойство правильного шестиугольника). Рассмотрим чертеж:



Так как угол правильного шестиугольника равен \(180^\circ(6-2):6=120^\circ\), а большие диагонали являются биссектрисами углов, то, например, \(\angle BAO=\angle ABO=60^\circ\), следовательно, \(\triangle ABO\) – равносторонний. То есть радиус окружности равен \(AO\) и равен \(AB\). Так как периметр шестиугольника равен \(72\), то его сторона равна \(72:6=12\). Тогда диаметр описанной окружности равен \(2\cdot 12=24\).

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно \(S=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, а \(r\) – радиус вписанной окружности.
Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) равна \(S=\dfrac{3\sqrt3}2a^2\), полупериметр равен \(3a\), тогда \[\dfrac{3\sqrt3}2\cdot (\sqrt3)^2=3\sqrt3\cdot r\quad\Rightarrow\quad r=1,5\]

Для любого многоугольника, в который можно вписать окружность, верно \(S=p\cdot r\), где \(p\) – полупериметр, а \(r\) – радиус вписанной окружности.
Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) равна \(S=\dfrac{3\sqrt3}2a^2\), полупериметр равен \(3a\), тогда \[\dfrac{3\sqrt3}2a^2=3a\cdot \sqrt3\quad\Rightarrow\quad a=2\]

По свойству правильного шестиугольника большая его диагональ в два раза больше его стороны. Следовательно, если \(AB=a\), то \(AD=BF=CE=2a\).

Т.к. эти диагонали делят правильный шестиугольник на 6 равносторонних треугольников, причем площадь каждого равна \(\frac{\sqrt3}4 a^2\), то площадь всего шестиугольника равна

\[S=6\cdot \dfrac{\sqrt3}4a^2=24\sqrt3 \quad \Rightarrow \quad a=4 \quad \Rightarrow \quad AD=2a=8.\]

Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности равен стороне этого шестиугольника.

\(OK\) – высота в треугольнике \(AOF\), опущенная из \(O\). Так как расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на эту прямую, то \(OK = 4\sqrt{3}\).
Пусть \(R\) – радиус описанной окружности, тогда \(OF = R\), \(KF = 0,5R\) (так как \(OK\) ещё и медиана), таким образом, по теореме Пифагора \(R^2 = (0,5R)^2 + (4\sqrt{3})^2\), откуда \(R = 8\).