Задачи на клетчатой бумаге (страница 2)
\(\blacktriangleright\) Помним, что каждая клетка представляет собой квадрат.
\(\blacktriangleright\) В равных прямоугольниках равны диагонали.
\(\blacktriangleright\) Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
\(\blacktriangleright\) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы.
И наоборот: катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла \(30^\circ\) (рис. 1).
\(\blacktriangleright\) Медиана, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является высотой и биссектрисой (рис. 2).
На клетчатой бумаге с клетками размером \(1\)мм \(\times 1\)мм нарисован невыпуклый шестиугольник \(ABCDEF\). Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных миллиметрах.
Дорисуем несколько отрезков как показано на рисунке ниже
Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту к этому основанию.
Площадь треугольника \(ABF\) равна \(0,5 \cdot BF \cdot AF = 3\)мм\(^2\).
Площадь треугольника \(CBH\) равна \(0,5 \cdot CH \cdot BH = 1\)мм\(^2\).
Площадь трапеции \(FHDE\) равна \(0,5\cdot(DE + HF)\cdot GE = 3,5\)мм\(^2\). \(S_{ABCDEF} = S_{\triangle ABF} + S_{\triangle CBH} + S_{FHDE} = 7,5\)мм\(^2\).
На клетчатой бумаге с клетками размером \(1\)мм \(\times 1\)мм нарисован четырёхугольник \(ABCD\). Найдите его площадь. Ответ дайте в квадратных миллиметрах.
Дорисуем несколько отрезков как показано на рисунке ниже
В треугольнике \(ABK\) точка \(M\) – середина \(AK\) и \(MO || BK\), тогда \(MO\) – средняя линия и \(MO = 0,5BK = 0,5MN\), \(NO = MN - MO = 0,5MN = MO\), значит, у треугольников \(AOM\) и \(BON\) равные площади.
Площадь \(ABCD\) равна площади \(MNBCD\), что равно разности площадей \(MCD\) и \(NBC\)
Площадь \(MCD\) равна \(6\)мм\(^2\), площадь \(NBC\) равна \(1,5\)мм\(^2\). Площадь \(ABCD\) равна площади \(MNBCD\), которая равна \(4,5\)мм\(^2\).
На клетчатой бумаге изображен треугольник \(ABC\). Найдите его высоту, опущенную из вершины \(C\), если длина стороны \(AB\) равна 7.
Вершины треугольника лежат в узлах решетки.
Заметим, что \(\triangle ABC\) равнобедренный: если \(x\) – длина стороны одной клетки, то \(AC=\sqrt{(5x)^2+(5x)^2}=\sqrt{50}x\) и \(BC=\sqrt{x^2+(7x)^2}=\sqrt{50}x\). Следовательно, высота из точки \(C\) также будет являться и медианой, следовательно, упадет в середину \(AB\) – точку \(H\). Для того, чтобы найти середину \(AB\), можно построить прямоугольник \(AB'BA'\) (взяв \(AB\) за диагональ) и найти точку пересечения диагоналей:
Заметим, что \(AB\) – гипотенуза прямоугольного треугольника \(AB'B\) с катетами \(2x\) и \(6x\), а \(CH\) – гипотенуза прямоугольного треугольника \(CHK\) с такими же катетами \(2x\) и \(6x\). Следовательно, \(CH=AB=7\).
Размер клетки \(1\)см \(\times\) \(1\)см. Найдите площадь фигуры с вырезанным кругом, выраженную в квадратных сантиметрах.
Искомая фигура состоит из квадрата \(ABCD\) без вырезанного круга с центром \(O\) и двух половин круга такого же радиуса \(\Rightarrow\) площадь искомой фигуры равна площади квадрата \(ABCD\): \(8\cdot8 = 64\).
Размер клетки \(1\)см \(\times\) \(1\)см. Найдите площадь закрашенного треугольника, выраженную в квадратных миллиметрах.
\(\triangle A_1BC_1 \sim \triangle ABC\) \(\Rightarrow\) \(S_{\triangle A_1BC_1} = k^2S_{\triangle ABC}\), где \(k\) – это коэффициент подобия данных треугольников. Он равен отношению высот в треугольниках \(\triangle A_1BC_1\) и \(\triangle ABC\), т.е. \(k=\frac{3}{5}\). Поэтому \(S_{\triangle A_1BC_1}=\left(\frac{3}{5}\right)^2\cdot\frac{1}{2}\cdot5\cdot6 = 5,4\,\,\text{см}^2 = 540\,\,\text{мм}^2 \).
На рисунке изображен треугольник. Найдите угол \(\alpha\).
В \(\triangle ABC\) выберем точку \(H\), как показано на рисунке. Тогда: \(CH \bot AB\), \(AH = CH\) (покажите это самостоятельно) \(\Rightarrow\) \(\triangle AHC\) – равнобедренный прямоугольный треугольник \(\Rightarrow\) \(\angle \alpha = 45^\circ\).
Найдите разность площади фигуры \(1\) и площади фигуры \(2\).
Площадь фигуры \(1\) можно посчитать следующим образом: \(S_1 = S_{AEGH} + S_{ABDE} - S_{\triangle ABC} - S_{\triangle CDF} - S_{\triangle FGH} = \)
\(=\frac{1}{2}\cdot(2 + 6)\cdot3 + 1\cdot6 - \frac{1}{2}\cdot1\cdot2
- \frac{1}{2}\cdot4\cdot3 - \frac{1}{2}\cdot1\cdot2 = 10\); а площадь фигуры \(2\): \(S_2 = S_{AHJK} - S_{\triangle KLJ} =
\frac{1}{2}\cdot(2+5)\cdot4 - \frac{1}{2}\cdot4\cdot3 = 8\). Тогда \(S_1 - S_2 = 10 - 8 = 2\).
