Решение показательных неравенств
Решите неравенство \[17^{x^2-1}\geqslant 1\]
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
Преобразуем неравенство: \[17^{x^2-1}\geqslant 17^0\] Т.к. основание степени больше единицы (\(17>1\)), то неравенство равносильно \[x^2-1\geqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad (x-1)(x+1)\geqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов:
получим \(x\in(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)\).
\((-\infty;-1]\cup[1;+\infty)\)
Решите неравенство \[4^{2x^2-23}<8\]
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
Преобразуем данное неравенство: \[(2^2)^{2x^2-23}<2^3 \quad
\Leftrightarrow \quad 2^{4x^2-46}<2^3\] Т.к. основание степени больше единицы (\(2>1\)), то неравенство равносильно \[4x^2-46<3 \quad
\Leftrightarrow \quad 4x^2-49<0 \quad \Leftrightarrow \quad
(2x-7)(2x+7)<0\] Решая данное неравенство методом интервалов:
получим \(x\in\left(-\frac72; \frac72\right)\).
\(\left(-\frac72; \frac72\right)\)
Решите неравенство
\[\begin{aligned} 2^x\geqslant 2 - 2^0 \end{aligned}\]
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
Исходное неравенство равносильно неравенству \[2^x\geqslant 2^0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\geqslant 0\,.\]
\([0; +\infty)\)
Решите неравенство
\[\begin{aligned} 4^{t+1} - 2^{t + 3} + 2^2\geqslant 0 \end{aligned}\]
ОДЗ: \(t\) – произвольный.
Исходное неравенство равносильно неравенству
\[\begin{aligned} 4\cdot 2^{2t} - 8\cdot 2^{t} + 4\geqslant 0 \end{aligned}\]
Сделаем замену \(y = 2^t\), \(y > 0\). Полученное неравенство примет вид:
\[\begin{aligned} 4\cdot y^2 - 8\cdot y + 4\geqslant 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad y^2 - 2y + 1\geqslant 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad (y - 1)^2\geqslant 0\,, \end{aligned}\]
что выполнено при любом \(y\). Таким образом, исходное неравенство справедливо при любом \(t\).
\((-\infty; +\infty)\)
Решите неравенство \[25^{2x-4}<\left(\frac15\right)^{x+3}\]
ОДЗ: \(x\) – произвольный.
Преобразуем данное неравенство: \[(5^2)^{2x-4}<(5^{-1})^{x+3} \quad \Leftrightarrow \quad 5^{4x-8}<5^{-x-3}\] Т.к. основание степени больше единицы (\(5>1\)), то неравенство равносильно \[4x-8<-x-3 \quad \Leftrightarrow \quad x<1 \quad \Leftrightarrow \quad x\in(-\infty;1).\]
\((-\infty;1)\)
Решите неравенство
\[\begin{aligned} 2^x\geqslant 4^x\cdot 0,5 \end{aligned}\]
Исходное неравенство равносильно неравенству
\[\begin{aligned} 2^x\geqslant ({2^{2}})^x\cdot 2^{-1}\qquad\Leftrightarrow\qquad 2^x\geqslant 2^{2x - 1}\qquad\Leftrightarrow\qquad x\geqslant 2x - 1\qquad\Leftrightarrow\qquad x\leqslant 1, \end{aligned}\]
таким образом, ответ \[x\in(-\infty; 1].\]
\((-\infty; 1]\)
Решить неравенство \[{\large{2^{x^2}\cdot 5^{x^2}<10^{-3}\cdot \left(10^{3-x}\right)^2}}\]
(Задача от подписчиков)
По формуле \(a^x\cdot b^x=(ab)^x\) левую часть можно записать как \((2\cdot 5)^{x^2}=10^{x^2}\).
С помощью формулы \((a^x)^y=a^{xy}\) правую часть можно записать как \(10^{-3}\cdot 10^{6-2x}\), затем с помощью \(a^x\cdot b^x=(ab)^x\) как \(10^{-3+6-2x}\). Тогда неравенство примет вид: \[{\large{10^{x^2}<10^{3-2x}}}\] Данное неравенство равносильно \[x^2<3-2x\quad\Leftrightarrow\quad x^2+2x-3<0\quad\Leftrightarrow\quad
(x-1)(x+3)<0\quad\Leftrightarrow\quad x\in (-3;1)\]
\((-3;1)\)
Показательные неравенства в ЕГЭ по математике профильного уровня неизменно встречаются из года в год. Безусловно, баллы, которые можно набрать или, наоборот, не получить за данное задание, никак не влияют на итоговую оценку по предмету. Но нельзя забывать, что от них во многом зависит ваш шанс поступить в желаемый вуз.
Научиться решать показательные неравенства важно не только с целью успешной сдачи аттестационного испытания и получения конкурентоспособных баллов по ЕГЭ, но и по той причине, что это умение пригодится при изучении курса математики в высшем учебном заведении Москвы или другого города. Кроме того, выполнение данных заданий позволяет развить навыки систематизации и логическое мышление, помогает повысить творческие и умственные способности школьника.
Показательные уравнения и неравенства, которые предстоит решить школьникам из Москвы и других городов в ЕГЭ по математике (профиль), входят в курс 10 класса. На уроках на изучение этой темы отводится мало времени. Для того чтобы верно выполнить решение показательных неравенств в ЕГЭ, рекомендуем воспользоваться при подготовке нашим ресурсом. Мы разработали для вас уникальный инструмент, с помощью которого вы сможете грамотно выстроить подготовку к сдаче экзамена, восполнить пробелы в знаниях и отработать навыки решения задач.
