Решение показательных неравенств (страница 2)

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

Исходное неравенство равносильно неравенству \[3^{2x}\geqslant 3^x\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x\geqslant x\qquad\Leftrightarrow\qquad x\geqslant 0\,.\]

Найдём нули левой части:

\[\begin{aligned} (2^x - 1)(3^x + 1) = 0 \end{aligned}\]

так как при любом \(x\) выполнено \(3^x > 0\), то левая часть равна \(0\) при \[2^x = 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 2^x = 2^0 \qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0.\] Таким образом, по методу интервалов:



откуда \(x\in[0; +\infty).\)

ОДЗ: \(x\ne 0\).

Запишем число \(0,5\) как степень с основанием \(6\): \[0,5=6^{\log_6{0,5}}.\] Тогда неравенство примет вид \[6^{\frac{x^2}x}>6^{x\log_6{0,5}}\]Т.к. основание больше единицы (\(6>1\)), то неравенство равносильно \[{\frac{x^2}x}>x\log_6{0,5} \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} x>x\log_6{0,5}\\ x\ne 0 \end{cases} \quad \Leftrightarrow\quad \begin{cases} x(1-\log_6{0,5})>0\\ x\ne 0 \end{cases}\]Т.к. основание и аргумент логарифма \(\log_6{0,5}\) лежат по разные стороны от \(1\), то он отрицателен, то есть \(\log_6{0,5}<0\). Следовательно, \(1-\log_6{0,5}>0\), следовательно, \(x(1-\log_6{0,5})>0\quad\Leftrightarrow\quad x>0\) и решением системы будут \(x\in (0;+\infty)\).

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 3\cdot (11^x)^2 - 4\cdot 11^x + 1\geqslant 0. \end{aligned}\]

Сделаем замену \(11^x = y\), тогда полученное неравенство примет вид

\[\begin{aligned} 3y^2 - 4y + 1\geqslant 0. \end{aligned}\]

Таким образом, по методу интервалов:



откуда \[\left[ \begin{gathered} y\leqslant \dfrac{1}{3}\\ y\geqslant 1 \end{gathered} \right. \qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} 11^x\leqslant \dfrac{1}{3}\\ 11^x\geqslant 1 \end{gathered} \right. \qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} 11^x\leqslant 11^{\log_{11}\frac{1}{3}}\\ 11^x\geqslant 11^0 \end{gathered} \right. \qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x\leqslant \log_{11}\dfrac{1}{3}\\ x\geqslant 0 \end{gathered} \right.\] Таким образом, \(x\in\left(-\infty; \log_{11}\dfrac{1}{3}\right]\cup[0; +\infty)\).

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 5^x\geqslant 16\qquad\Leftrightarrow\qquad 5^x\geqslant 5^{\log_5 16}\qquad\Leftrightarrow\qquad x\geqslant \log_5 16. \end{aligned}\]

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

Преобразуем правую часть: \(\dfrac{3^{-x}}9=3^{-x}\cdot 3^{-2}=3^{-x-2}\).

Тогда неравенство равносильно \[8^{x+2}<3^{-x-2}\] Умножим обе части неравенства на положительное выражение \(3^{x+2}\): \[8^{x+2}\cdot 3^{x+2}<3^{-x-2}\cdot 3^{x+2} \quad \Leftrightarrow \quad (8\cdot 3)^{x+2}<3^0 \quad \Leftrightarrow \quad 24^{x+2}<24^0\]Т.к. основание больше единицы (\(24>1\)), то неравенство равносильно \[x+2<0 \quad \Leftrightarrow \quad x\in (-\infty;-2)\]

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

Заметим, что \((2-\sqrt3)^2=2^2-2\cdot 2\sqrt3+(\sqrt3)^2=7-4\sqrt3\). Следовательно, неравенство равносильно \[(2-\sqrt3)^{x^2-x}> (2-\sqrt3)^2\] Т.к. основание меньше единицы (\(2-\sqrt3<1\)), то неравенство равносильно \[x^2-x<2 \quad \Leftrightarrow \quad x^2-x-2<0 \quad \Leftrightarrow \quad (x+1)(x-2)<0\] Решая данное неравенство методом интервалов:



получим \(x\in(-1;2)\).