Решение показательных неравенств (страница 3)

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

Заметим, что \((2+\sqrt3)^2=2^2+2\cdot 2\sqrt3+(\sqrt3)^2=7+4\sqrt3\). Следовательно, неравенство равносильно \[(2+\sqrt3)^{x^2-7}\leqslant (2+\sqrt3)^2\] Т.к. основание больше единицы (\(2+\sqrt3>1\)), то неравенство равносильно \[x^2-7\leqslant 2 \quad \Leftrightarrow \quad x^2-9\leqslant 0 \quad \Leftrightarrow \quad (x-3)(x+3)\leqslant 0\] Решая данное неравенство методом интервалов:



получим \(x\in[-3;3]\).

ОДЗ: \(x\ne 0\).

Заметим, что \(\dfrac12-\sqrt2<0\), следовательно, смысл неравенства: левая часть не меньше некоторого отрицательного числа.

Т.к. по определению показательная функция всегда принимает только положительные значения, то есть \(\left(\sqrt2-\dfrac12\right)^{\frac{x^2-1}x}>0\) при всех \(x\) из ОДЗ, то решением неравенства является только ОДЗ.

Следовательно, \(x\in (-\infty;0)\cup(0;+\infty)\).

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 3^{3x} + 3\cdot 3^{2x} - 3^x - 3\leqslant 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(y = 3^x\), \(y > 0\). Полученное неравенство примет вид:

\[\begin{aligned} y^3 + 3y^2 - y - 3\leqslant 0 \end{aligned}\]

В левой части последнего неравенства сгруппируем слагаемые (первые два и последние два):

\[\begin{aligned} y^2(y + 3) - (y + 3)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (y^2 - 1)(y + 3)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad (y - 1)(y + 1)(y + 3)\leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов при \(y > 0\):



откуда \(y\in(0; 1]\).

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству \[0 < 3^x\leqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 3^x\leqslant 3^0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\leqslant 0\,.\]

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} 2^{3x} - 3\cdot 2^{2x} + 3\cdot 2^x - 1\leqslant 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(y = 2^x\), \(y > 0\). Полученное неравенство примет вид:

\[\begin{aligned} y^3 -3y^2 + 3y - 1\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (y - 1)^3 \leqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов при \(y > 0\):



откуда \(y\in(0; 1]\).

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству \[0 < 2^x\leqslant 1\qquad\Leftrightarrow\qquad 2^x\leqslant 2^0\qquad\Leftrightarrow\qquad x\leqslant 0\,.\]

Сделаем замену: \(t=4^x-4\cdot 2^x+5\). Тогда неравенство примет вид: \[t-2+\dfrac1t>0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2-2t+1}t>0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{(t-1)^2}t>0\]

Решим полученное неравенство методом интервалов:

Таким образом, решением являются: \[\begin{cases} t>0\\ t\ne 1 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} 4^x-4\cdot 2^x+5>0\\ 4^x-4\cdot 2^x+5\ne 1 \end{cases}\]

Сделав замену \(2^x=y\), система приобретет вид: \[\begin{cases} y^2-4y+5>0\\ y^2-4y+4\ne 0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} (y-2)^2>-1\\ (y-2)^2\ne 0 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases} y\in\mathbb{R}\\ y\ne 2 \end{cases} \quad\Leftrightarrow\quad y\ne 2\]

Сделаем обратную замену: \[2^x\ne 2\quad\Leftrightarrow\quad x\ne 1.\]

Так как \(25^x=(5^x)^2, \ 125^x=(5^x)^3\), то сделаем замену \(5^x=t\) и неравенство примет рациональный вид: \[t^3-t^2+\dfrac{4t^2-20}{t-5}\leqslant 4\quad\Leftrightarrow\quad t^3-t^2+\dfrac{4t^2-20-4(t-5)}{t-5}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t^2(t-1)+\dfrac{4t(t-1)}{t-5}\leqslant 0\] Вынесем за скобки \(t(t-1)\): \[t(t-1)\cdot \left(t+\dfrac 4{t-5}\right)\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad t(t-1)\cdot \dfrac{t^2-5t+4}{t-5}\leqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t(t-1)(t-1)(t-4)}{t-5}\leqslant 0\] (так как \(t^2-5t+4=(t-1)(t-4)\))
Решим полученное неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \[t\in (-\infty;0]\cup\{1\}\cup[4;5)\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &5^x\leqslant 0\\ &5^x=1\\ &4\leqslant 5^x<5 \end{aligned} \end{gathered}\right.\quad\leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x\in\varnothing\\ &x=0\\ &\log_54\leqslant x<1 \end{aligned} \end{gathered}\right.\] (так как по определению показательной функции \(5^x>0\) для любого \(x\), то неравенство \(5^x\leqslant 0\) не имеет решений)

Сделаем замену: \(t=2^{2-x^2}\). Тогда неравенство примет вид: \[\dfrac 3{(t-1)^2}-\dfrac 4{t-1}+1\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{3-4(t-1)+(t-1)^2}{(t-1)^2}\geqslant 0\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t^2-6t+8}{(t-1)^2}\geqslant 0\] Так как \(t^2-6t+8=(t-2)(t-4)\), то \[\dfrac{(t-2)(t-4)}{(t-1)^2}\geqslant 0\] Решим данное неравенство методом интервалов:


Тогда решением будут \[t\in (-\infty;1)\cup (1;2]\cup[4;+\infty)\] Сделаем обратную замену: \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2^{2-x^2}<1\\[1ex] &1<2^{2-x^2}\leqslant 2\\[1ex] &2^{2-x^2}\geqslant 4\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &2-x^2<0\\[1ex] &0<2-x^2\leqslant 1\\[1ex] &2-x^2\geqslant 2\end{aligned}\end{gathered}\right.\quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x^2>2\\[1ex] &1\leqslant x^2<2\\[1ex] &x^2\leqslant 0\end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решением первого неравенства будут \(x\in (-\infty;-\sqrt2)\cup(\sqrt2;+\infty)\) (так как \(x^2>2\quad\Leftrightarrow\quad |x|>\sqrt2\)).
Решением второго неравенства будут \(x\in (-\sqrt2;-1]\cup[1;\sqrt2)\) (так как \(x^2\geqslant 1\quad\Leftrightarrow\quad |x|\geqslant 1\), а \(x^2<2\quad\Leftrightarrow\quad |x|<\sqrt2\), и данные решения нужно пересечь).
Решением третьего неравенства будут \(x\in \{0\}\) (так как любое выражение в квадрате всегда \(\geqslant 0\), следовательно, оно может быть \(\leqslant 0\) тогда и только тогда, когда оно равно нулю).
Следовательно, ответ: \[x\in (-\infty;-\sqrt2)\cup(-\sqrt2;-1]\cup\{0\}\cup[1;\sqrt2) \cup(\sqrt2;+\infty)\]